Los elementos de $S=K[X_0,X_1,\dots,X_n]/I(X)$ son buenas...pero no se en $X$ !
Se trata de funciones en el cono $c(X)\subset \mathbb A^{n+1}$ asociado a $X$, que tiene como ecuaciones de los mismos elementos de la $I(X)$.
Por ejemplo, si $X$ es el círculo de $X_0^2+X_1^2-X_2^2=0$$\mathbb P^2$, $c(X)$ es el cono $X_0^2+X_1^2-X_2^2=0$$\mathbb A^3$.
Por desgracia, los elementos de $S$ no son constantes en las generatrices del cono, por lo que las funciones en $S$ no descienden a $X$, así como Jyrki y Matt le dijo.
Usted puede experimentar con $\overline X_0 \in S$ en el ejemplo anterior: $\overline X_0 $ toma todos los valores en $K$ sobre la generatriz $K(1,0,1)\subset c(X)$, por lo que no tiene sentido para adjuntar un valor de a $\overline X_o$ en el punto de $[1:0:1]\in X\subset \mathbb P^2$.
De modo gradual del anillo de $S$ es inútil, ¿verdad? Mal!
Es un anillo con el cual se pueden construir otras interesantes anillos .
Por ejemplo, el campo de funciones racionales $Rat(X)$ es el subcampo de la fracción de campo $Frac(S)$ consta de cocientes $\overline P/\overline Q$ $P,Q$ polinomios del mismo grado y $ Q\notin I(X)$.
Del mismo modo se puede definir el anillo local $\mathcal O_{X,x}$ $x\in X$ mediante la adición de la condición de $Q(x)\neq 0$.
[Usted puede mirar en esta respuesta para el caso de $X=\mathbb P^n$ ]
Por el camino, tenga en cuenta que incluso si usted no puede adjuntar un valor de a $Q(x)$, lo hace a la perfección sentido decir que el $ Q(x)=0$ o $Q(x)\neq 0$.
Y esta es la fuente de más utilidad del anillo de $S$: permite definir todas las subvariedades de $X$ mediante el establecimiento de un grupo homogéneo de elementos de $S$ igual a cero.
Para resumir, la consideración de que el graduado de anillo de $S$ le permite desprenderse de el ambiente $\mathbb P^n$, y estar más intrínseca.
Y este es el comienzo de la Proj la construcción, que es la generalización del esquema de la teoría de la noción clásica de la variedad proyectiva.
Edit:con la salvedad de
Después de todo este elogio de $S$, le debe llamar la atención a un inconveniente : no solo depende de los $X$, sino también en su integración en $\mathbb P^n$:
Si, por ejemplo, incorporamos $\mathbb P^1$ a $\mathbb P^2$ sucesivamente a medida que la línea de $X_0=0$ y, a continuación, como el círculo de $X_0^2+X_1^2-X_2^2=0$ ya se ha mencionado , la correspondiente gradual de los anillos se $S_1=K[X_1,X_2]$ $S_2=K[X_0,X_1,X_2]/(X_0^2+X_1^2-X_2^2)$ y no son isomorfos.
