¿Cuál sería la resistencia efectiva de la escalera de resistencias que tiene n escalones

Question

Soy un tutor. Este es un problema de nivel de secundaria. En la escuela secundaria, cada uno podría haber resuelto un problema de resistencia efectiva de una escalera de resistencias con infinitos escalones. Ahora el problema es un poco diferente. ¿Y si tiene n pasos en lugar de pasos infinitos. ¿Cómo calcular la resistencia efectiva en ese caso?

Answer 1

Voy a ir paso a paso. Primero escribiré la respuesta para los primeros casos con el análisis del circuito. Luego aplicaré una reducción para mostrar el patrón al que llega el problema.

N=1

$$Z = R+R=2R$$

N=2

$$Z = R+\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R + R}} = R \left( 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1 + 1}} \right)=\frac{5}{3} R$$

N=3

$$Z = R+\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R + \frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R + R}}}} = R \left( 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1 + \frac{1}{1+\frac{1}{1 + 1}}}} \right) =\frac{13}{8} R$$

En este punto la fracción continuada es claramente identificable. Me parece un poco preocupante porque no escala con $N$ pero la fracción continua crece como $2N$ . Esto se podría remediar no considerando añadir 2 resistencias en el extremo cada vez, sino añadir una resistencia en paralelo, una en serie a esa, luego una nueva en paralelo entre las dos nuevas, y utilizar un índice diferente para eso.

Los programas computacionales deben tener alguna función fácil para escribir la fracción continua a algún $N$ número de fracciones. Desafortunadamente no puedo encontrar esto para Maple, pero necesito tal procedimiento para dar una respuesta a su pregunta. Voy a definir tal cosa aquí mismo. Intencionalmente uso $n$ en la definición y no $N$ para evitar la inevitable confusión.

$$F(1)=1$$ $$F(n+1) = 1+\frac{1}{F(n)}$$

Con esto, puedo responder a su pregunta.

$$Z = R F(2 N) $$

Y puedo darle una muestra de la función que acabo de crear.

$$F(1..6) = [1, 2, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}]$$ $$F(\infty) = \frac{ \sqrt5+1}{2}$$

Creo que esta es la mejor forma con la que se puede responder al problema. La fracción no se puede reducir fácilmente a alguna forma algebraica concisa porque todo el sentido de este ejercicio es no introducir suposiciones, y la fracción grande es la forma algebraica de la respuesta. Los valores finitos de la fracción, sin embargo, son lo más fácil de implementar procedimentalmente.

Solución de forma cerrada

Esta debería ser mi edición final, y esta expresión resuelve más o menos el problema.

$$F(n) = \frac{\varphi^{n+1}-(1-\varphi)^{n+1}}{\varphi^n-(1-\varphi)^n}$$ $$\varphi = \frac{ \sqrt5+1}{2}$$ $$Z = R \frac{\varphi^{2 N+1}-(1-\varphi)^{2 N+1}}{\varphi^{2 N}-(1-\varphi)^{2 N}}$$

Answer 2

Para cualquier $n$ se puede calcular mediante las reglas de las resistencias en serie y en paralelo, pero para obtener una fórmula general, válida para todos $n$ no me parece fácil. La mejor manera que conozco es obtener una relación recursiva que dé la resistencia de un $n$ -de la escalera en términos de una $(n-1)$ -Escalera de pasos. Si no me equivoco, la $n$ -La escala de pasos se puede considerar como una sola resistencia $R$ en serie con una combinación en paralelo formada por otro $R$ y un $(n-1)$ -escalera. Las reglas para la resistencia en serie y en paralelo dan $$ R_n=R+{RR_{n-1}\over R+R_{n-1}}. $$ La escalera inicial de un paso tiene $R_1=2R$ Y a partir de ahí puedes utilizar la fórmula anterior para ir subiendo en la cadena.

He hecho que Mathematica resuelva los primeros pasos, y parecen estar relacionados con los números de Fibonacci, concretamente $$ R_n=R{F_{2n+1}\over F_{2n}}. $$ Estoy seguro de que es posible demostrarlo por inducción.

Answer 3

Esta es la forma en que un electricista resuelve el problema:

Dejemos que $U$ sea una tensión en la entrada de la escalera de las resistencias. Sea $I_k$ sea la corriente en el brazo horizontal de la sección k-ésima, $I_0$ sea la corriente en el brazo horizontal de la sección 0 (sección inicial), $I_n$ sea la corriente en el brazo horizontal de la n-ésima sección (última sección) Así que estoy trabajando actualmente con $n+1$ secciones. Aplicando sucesivamente a los circuitos cerrados la ley de tensión de Kirchhoff, encontramos:

$$RI_0+R(I_0-I_1)=U$$

$$R(I_0-I_1)-RI_1-R(I_1-I_2)=0$$

$$..............................$$

$$-R(I_{n-1}- I_n)+2RI_n=0$$ Después de la simplificación:

$$2I_0-I_1=\frac{U}{R}$$

$$3I_k-I_{k+1}-I_{k-1}=0$$

$$3I_n-I_{n-1}=0$$ Ahora, la resistencia efectiva:

$$R_e=\frac{U}{I_0}$$ El siguiente paso es resolver la relación de recurrencia. Sorprendentemente, Wolfram Alpha hace un buen trabajo: Enlace aquí . Hay $f(k)$ en lugar de $I_k$

Así que $R_e=R\frac{(7-3\sqrt 5)(3-\sqrt 5)^n+(3+\sqrt 5)^{n+1}}{(1+\sqrt 5)(3+\sqrt 5)^n-2(\sqrt 5-2)(3-\sqrt 5)^n}$

Esta respuesta es coherente con la de Zassounotsukushi

Answer 4

Es interesante. Creo que hay que proceder de la siguiente manera: (1) Sin pérdida de generalidad suponga que la tensión de entrada es 1, y las resistencias son de un solo ohmio. (2) Defina r = resistencia de la escalera infinita. (3) Ahora mira el circuito donde añadimos un escalón más en el lado izquierdo. Tenemos que resolver la tensión en el lugar donde está conectado, en función de r. (4) La nueva corriente es 1 menos esta tensión. Y la resistencia total de la configuración es r'=1/(1-V(r)). (5) Ajusta r hasta que r=r' (6) Escala por la R dada en el problema original. Es decir, el resultado es r*R.

Un poco de álgebra en los pasos 4 y 5.....

Answer 5

Trabaja hacia atrás para que las matemáticas sean más fáciles y también para que el patrón surja más rápidamente. Yo hice esto, pero mostraré los resultados en orden hacia adelante

R(1) = 2R = (1+1/1)R

R(2) = (1+(2/3)) R

R(3) = (1+(5/8)) R

R(4) = (1+(13/21)) R

R(5) = (1+(34/55)) R

Llama a esta forma general ---> R(N) = (1+((a(N)/b(N))) R

Defina a(1) = b(1) = 1.

Para N > 1 --->

a(N) = a(N-1) + b(N-1)

b(N) = a(N) + b(N-1) = a(N-1) + 2 b(N-1)

Todavía hay que hacer cálculos para cada R(N), ya que hay que conocer a(N-1) y b(N-1) para obtener el siguiente término; pero es más sencillo. Tal vez alguien que esté al tanto de las matemáticas de las series pueda ponerlo en una forma cerrada para nosotros.