Correlación de variables aleatorias log-normales

Question

Dado $X_1$ y $X_2$ variables aleatorias normales con coeficiente de correlación $\rho$ ¿Cómo puedo encontrar la correlación entre las siguientes variables aleatorias lognormales? $Y_1$ y $Y_2$ ?

$Y_1 = a_1 \exp(\mu_1 T + \sqrt{T}X_1)$

$Y_2 = a_2 \exp(\mu_2 T + \sqrt{T}X_2)$

Ahora bien, si $X_1 = \sigma_1 Z_1$ y $X_2 = \sigma_1 Z_2$ , donde $Z_1$ y $Z_2$ son normales estándar, a partir de la propiedad de transformación lineal, obtenemos:

$Y_1 = a_1 \exp(\mu_1 T + \sqrt{T}\sigma_1 Z_1)$

$Y_2 = a_2 \exp(\mu_2 T + \sqrt{T}\sigma_2 (\rho Z_1 + \sqrt{1-\rho^2}Z_2)$

Ahora, cómo pasar de aquí a calcular la correlación entre $Y_1$ y $Y_2$ ?

Answer 1

Supongo que $X_1\sim N(0,\sigma_1^2)$ y $X_2\sim N(0,\sigma_2^2)$ . Denote $Z_i=\exp(\sqrt{T}X_i)$ . Entonces

\begin {align} \log (Z_i) \sim N(0,T \sigma_i ^2) \end {align} así que $Z_i$ son log-normal . Así,

\begin {align} EZ_i&= \exp\left ( \frac {T \sigma_i ^2}{2} \right ) \\ var(Z_i)&=( \exp (T \sigma_i ^2)-1) \exp (T \sigma_i ^2) \end {align} y \begin {align} EY_i&=a_i \exp ( \mu_iT )EZ_i \\ var(Y_i)&=a_i^2 \exp (2 \mu_iT )var(Z_i) \end {align}

Entonces, utilizando la fórmula para la f.g.m. de la normal multivariante tenemos

\begin {align} EY_1Y_2&=a_1a_2 \exp (( \mu_1 + \mu_2 )T)E \exp ( \sqrt {T}X_1+ \sqrt {T}X_2) \\ &=a_1a_2 \exp (( \mu_1 + \mu_2 )T) \exp\left ( \frac {1}{2}T( \sigma_1 ^2+2 \rho\sigma_1\sigma_2 + \sigma_2 ^2) \right ) \end {align} Así que \begin {align} cov(Y_1,Y_2)&=EY_1Y_2-EY_1EY_2 \\ &=a_1a_2 \exp (( \mu_1 + \mu_2 )T) \exp\left ( \frac {T}{2}( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2) \right )( \exp ( \rho\sigma_1\sigma_2T )-1) \end {align}

Ahora la correlación de $Y_1$ y $Y_2$ es la covarianza dividida por las raíces cuadradas de las varianzas:

\begin {align} \rho_ {Y_1Y_2}= \frac { \exp ( \rho\sigma_1\sigma_2T )-1}{ \sqrt { \left ( \exp ( \sigma_1 ^2T)-1 \right ) \left ( \exp ( \sigma_2 ^2T)-1 \right )}} \end {align}