Cómo calcular el discriminante

Question

Deje $\alpha$ ser una raíz de la irreductible polinomio cúbico $x^{3}+px+q$, $p,q\in \mathbb{Q}$. ¿Cómo puedo calcular el discriminante $\Delta(1,\alpha,\alpha^{2})$ en relación al $\mathbb{Q}(\alpha)$?

Answer 1

Si $\alpha=\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3$ son las diferentes raíces de $f=x^3+px+q$, luego \begin{align*} \Delta(1,\alpha,\alpha^2) &= \det \left( \matrix{1&\alpha_1&\alpha_1^2\\1&\alpha_2 &\alpha_2^2\\ 1&\alpha_3&\alpha_3^2} \right)^2 \quad \text{by definition of the discriminant}\\ &= \prod_{i&ltj} (\alpha_i-\alpha_j)^2 \quad \text{(Vandermonde determinant)}\\ &= \operatorname{Disc}(f) \quad \text{by definition of the discriminant of a polynomial}\\ &= -\operatorname{Res}(f,f') \quad \text{by a formula for the discriminant in terms of the resultant}\\ &= -\det\left(\matrix{1&0&p&q&0\\0&1&0&p&q\\3&0&p&0&0\\0&3&0&p&0\\0&0&3&0&p}\right) \quad \text{by definition of the resultant}\\ &= -27q^2-4p^3 \quad \text{by computation of the determinant.} \end{align*}

Answer 2

La forma más fácil sería no utilizar el discriminante, pero en lugar de elaborar una tabla de variación con la ayuda de la diferenciación.