Ejemplos de Esquemas de Poisson

Question

Un múltiple de Poisson es un verdadero colector $M$ junto con una Mentira soporte de $[\cdot,\cdot]$ $C^\infty(M)$ que es una derivación en cada variable. Poisson colectores son interesantes por varias razones, entre ellas:

1. Usted puede definir la noción de un integrable sistema de estructura de Poisson colector, la cual les permite ser aplicado a la solución de problemas en la física con suficiente simetría.
2. Cada simpléctica colector es automáticamente Poisson
3. Cualquier Poisson colector tiene una foliación por simpléctica hojas.

(Referencia para todo esto: nada de Poisson colectores, en particular, de la wikipedia.)

Ahora, he visto a gente en serio (por ejemplo, en Vanhaecke del libro) extender esta noción afín variedades de más de $\mathbb{C}$, donde se Poisson significa que la estructura de la gavilla es una gavilla de Poisson Álgebras, en concreto, un algebra de Poisson es un álgebra asociativa junto con una Mentira soporte que es una derivación en cada variable.

Ahora, lo que me interesa es en qué medida esto puede ser generalizada y todavía tener algo donde hay interesantes (¡nuevo!) ejemplos. Por ejemplo, es "Poisson Esquema de $X$ $S$" un verdadero objeto de interés? En concreto, me estoy preguntando si hay ejemplos donde $S$ no es el espectro de un campo de característica cero, decir $S$ es un campo finito, o algo positivo dimensiones, o nonreduced, etc, y si hay ejemplos de esta forma, lo que los hace interesantes? Por ejemplo, una razón de Poisson colectores son interesantes es que son aplicables a la física y, de hecho, en muchos casos, los problemas relacionados con la geometría del espacio de moduli de vector de paquetes en una superficie de Riemann.

Answer 1

Por supuesto, el pensamiento de Poisson cosas de manera relativa no va a dar nada nuevo, ya que una familia de Poisson cosas en sí es de Poisson.

Pero la respuesta a si la gente piensa acerca de estas cosas en una forma abstracta, la respuesta es sí. Ahora hay un enorme y absolutamente hermoso teoría de simpléctica singularidades; he aquí una encuesta realizada por Kaledin. Si usted lee sus artículos, usted va a ver un montón de la moderna geometría algebraica; teoremas como el de la existencia de la inclinación de los generadores dependen de la reducción a la característica $p$.

Answer 2

Este "ejemplo" puede parecer bastante débil salsa, pero creo que se podría tomar cualquier liso cuasi-proyectivo de la familia de $X \to S$ $S$ cualquier esquema, ya que se puede recuperar un fiberwise simpléctica forma de espacio proyectivo. También, usted puede hacer algo para un gadget que conserva de Poisson-ness (aunque interesante explícita construcciones están escapando de mí - tal vez tomar un espacio total de una familia para hacer algo foliada?). Me parece recordar que estructuras como este se utiliza en la simetría de espejo mod p (de algunos de Arizona Escuela de Invierno conferencias por Candelas en 2004 o así), pero que estaba usando algebraicas simpléctica estructuras, en lugar de Poisson estructuras en general.

Answer 3

Una forma en que la distribución de Poisson esquemas muestran es como estructuras de Poisson en singular variedades---aunque esto es bastante menos esquema teórico-ish que lo que tienes en mente, creo.

Un ejemplo concreto: tome $\mathbb C^2$ es habitual estructura de Poisson (la que viene de su habitual forma simpléctica) y deje $G\subseteq\mathrm{Sp}(2,\mathbb C)=\mathrm{SL}(2,\mathbb C)$ ser un subgrupo finito. Claramente la acción de la $G$ respeta la estructura de Poisson, por lo que el du Val/MacKay cocientes $\mathbb C^2/G$ son naturalmente variedades de Poisson con una singularidad aislada. Estos objetos pueden ser estudiados en un muy de Poisson de la teoría de la forma.

Answer 4

También hay otro Kaledin del papel que usted puede desear mirar, la Normalización de un algebra de Poisson es de Poisson.