Apretado de Probabilidad sobre el espacio de Hilbert

Question

Estoy pensando en el siguiente problema. Deje $(X_j)$ ser yo.yo.d. $N(0,1)$ variables aleatorias y $H$ un espacio de Hilbert con base ortonormales $(e_j)$. Deje $$X:=\sum_j \frac{X_j e_j}{j}$$ Y para cualquier $\varepsilon>0$, encontramos un compacto $K$, de modo que $\mathbb{P}(X\in K)>1-\varepsilon$.

Yo realmente no tenía idea de qué hacer o por qué esto debería funcionar, por lo que cualquier intuición es útil.

Answer 1

Lo que me dio como una pista estaba casi bien, permítanme escribir una corrección. Revisión constante $c>0$, de modo que el conjunto de $K = \{x: x_j \in [\frac{-c\cdot(\ln(j)^2+1)}{j},\frac{c\cdot(\ln^2(j)+1)}{j}]\}$ es compacto (la prueba es la misma como lo he descrito anteriormente: todo lo que importa es que el ancho de la plaza summable). Nos gustaría mostrar que $P( X \in K)$ puede ser controlado por $c$. Observe que $$P(X \notin K) = P(\exists j \mbox{ : } |X_j| > c(1 + \ln^2(j) )$$ podemos controlar esto con $$\sum_j P(|X_j| > c(1 + \ln^2(j) ) \leq $$ $$\sum_j \frac{2}{\sqrt{2 \pi}}\frac{1}{c(1 + \ln^2(j) )}e^{-c(1 + \ln^2(j) )}$$

Una vez que nos damos cuenta de que $e^{-c\ln^2(j)} = (\frac{1}{j})^{c\ln(j)}$ esta suma claramente converge y se tiende a cero, como se $c \to \infty$.