Determinar el valor de los siguientes: $L=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^k}$

Question

Determinar el valor de los siguientes: $$L=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^k}$$

Yo:

Poner $$a_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^k}\to a_{n}-a_{n-1}=\frac{1}{n^n}>0$$

$\to \left\{a_n\right\}$ secuencia creciente.

Y $$a_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^k}=1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^k}<1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}<1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{(k-1)k}=2-\frac{1}{n}<2$$

$\to \left\{a_n\right\}$ secuencia converge.

Pero venir aquí, no sé cómo determinar el valor

Por lo tanto, por favor, ayúdame, necesito una solución.

Answer 1

$$\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^k}=\int_{0}^{1}\dfrac{1}{x^x}dx$$ (Aquí tiene una prueba.)

Answer 2

Yo sólo corrí en Alfa con k = 1 a 10^n con n es bastante grande y me dio un aproximado de respuesta acerca de : 1.29129. Tal vez esto es lo mejor que se puede conseguir!!!