¿Qué importancia tiene la "variedad de álgebras" en el Álgebra Universal?

Question

Dada una categoría algebraica, el Teorema de la Variedad de Birkhoff da una caracterización categórica de las subcategorías completas cuyo objeto-clase forma una variedad (es decir, puede definirse mediante ecuaciones en el sentido de la Teoría de Modelos).

A menudo se afirma que el teorema es de importancia fundamental para el Álgebra Universal. En cuanto a su importancia para las cuestiones metamatemáticas, esto no me sorprende, ya que describe una conexión entre la Teoría de Modelos y el Álgebra Universal. ¿Pero qué hay de su importancia "interna" para el Álgebra Universal? Supongamos que estudiamos una determinada clase de objetos en alguna categoría algebraica. ¿En qué medida podría ser útil saber si esta clase forma una variedad?

Mi pregunta sólo se refiere a la única implicación del teorema de Birkhoff, por supuesto. Está claro que el resultado de que las variedades son cerradas bajo la toma de productos, subálgebras e imágenes homomórficas tiene una amplia gama de posibles aplicaciones. Pero, ¿qué pasa con la inversa?

Answer 1

Puede que no sea la mejor respuesta, pero es un tipo de aplicación interesante del teorema de Birkhoff.

Digamos que tienes algo de clase $V$ de álgebras que se define "semánticamente" (por ejemplo, como todas las álgebras que surgen de alguna construcción), y se quiere dar una descripción "sintáctica" equivalente (es decir, una axiomatización $T$ ). Los ejemplos clásicos de esto incluyen la demostración de que los axiomas de grupo eligen la clase de subgrupos de grupos de permutación, o que los axiomas del álgebra de Boole eligen la clase de subálgebras de álgebras de conjuntos de potencias [nótese que no estoy afirmando que el teorema de Birkhoff sea útil para estos ejemplos clásicos].

Si puede demostrar directamente que $V$ está cerrado bajo las operaciones HSP, entonces se puede concluir que algunos axiomatización ecuacional $T^*$ existe, y este conocimiento puede realmente ayudarle a probar que un particular axiomatización ecuacional $T$ funciona.

¿Cómo? Bueno, por ejemplo, está claro que un álgebra $A$ satisface una ecuación si y sólo si toda subálgebra finitamente generada de $A$ satisface la ecuación. Así que si quieres comprobar que $A$ satisface $T$ si y sólo si está en $V$ (si y sólo si $A$ satisface el misterioso $T^*$ ), entonces se puede asumir sin pérdida que $A$ está generada finitamente. Y suposiciones de finitud como ésta pueden ser muy útiles.

Answer 2

El Teorema de la Variedad de Birkhoff tiene, en efecto, una importancia fundamental para el Álgebra Universal, sobre todo por la corriente de investigación que ha generado, dentro y fuera del Álgebra Universal. He aquí algunos ejemplos.

El libro [4] está enteramente dedicado a las variedades de grupos. Véase también el artículo Variedades de grupos por B.H. Neumann. Un resultado importante en este campo afirma que la variedad de grupos generada por un grupo finito es de base finita. Este resultado no es válido para las álgebras arbitrarias (los groupoides y los semigrupos son contraejemplos). Pero existe una amplia literatura sobre la siguiente cuestión:

¿Es decidible si la variedad generada por un álgebra finita dada es de base finita?"

El teorema de la variedad de Birkhoff también se ha ampliado en varias direcciones. Por ejemplo, se ha extendido a álgebras ordenadas en [2] y a (pseudo)variedades de álgebras finitas en [1, 6] (las ecuaciones son ahora ecuaciones profinitas) y a (pseudo)variedades de estructuras finitas de primer orden en [5]. Estos resultados, a su vez, han encontrado importantes aplicaciones en el estudio de los lenguajes regulares a través del teorema de variedades de Eilenberg [3, p. 194].

Por último, permítanme mencionar el poco conocido pero muy bonito libro [7], que contiene material interesante sobre variedades y teorías ecuacionales.

[1] B. Banaschewski, The Birkhoff theorem for varieties of finite algebras, Álgebra Universalis 17 (1983), 360-368.

[2] S. Bloom, Varieties of ordered algebras, J. Ciencias de los sistemas informáticos 13 (1976), 200-212.

[3] S. Eilenberg, Automata, Languages and Machines, Vol. B, Academic Press, coll. Pure and Applied Mathematics (no 59), 1976, xiii+387 p.

[4] Hanna Neumann, Variedades de grupos , Results in Mathematics and its Border Areas, Vol. 37, Springer-Verlag, Berlín, 1967.

[5] J.-E. Pin y P. Weil, A Reiterman theorem for pseudovarieties of finite first-order structures, Álgebra Universalis 35 (1996), 577-595.

[6] J. Reiterman, The Birkhoff theorem for finite algebras, Álgebra Universalis 14 (1982), 1-10.

[7] Wechler, Álgebra universal para informáticos Monografías de Informática Teórica de la EATCS 25 (1992)

Answer 3

Reformulando parte de la respuesta de Alex Kruckman: Sabiendo que alguna clase $\mathcal{A}$ de las álgebras tiene una presentación ecuacional es útil porque entonces sabemos que un álgebra pertenece a $\mathcal{A}$ si toda subálgebra finitamente generada lo hace.