Espero que este sea el lugar adecuado para preguntar, si no es así no dude en moverlo a un foro más apropiado.
Llevo bastante tiempo preguntándome cómo tratar integrable no cuadrático funciones con integración de Monte Carlo. Sé que MC sigue dando una estimación adecuada, pero el error es irrealizable (¿divergente?) para ese tipo de funciones.
Limitémonos a una dimensión. La integración Monte Carlo significa que aproximamos la integral
$$ I = \int_0^1 \mathrm{d}x \, f(x) $$
utilizando la estimación
$$ E = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N f(x_i) $$
con $x_i \in [0,1]$ puntos aleatorios distribuidos uniformemente. La ley de los grandes números garantiza que $E \approx I$ . La varianza muestral
$$ S^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (f (x_i) - E)^2 $$
se aproxima a la varianza $\sigma^2$ de la distribución inducida por $f$ . Sin embargo, si $f$ no es integrable al cuadrado, es decir, la integral de la función al cuadrado diverge, lo que implica que
$$ \sigma^2 = \int_0^1 \mathrm{d} x \, \left( f(x) - I \right)^2 = \int_0^1 \mathrm{d} x \, f^2(x) - I^2 \longrightarrow \infty $$
lo que significa que también la varianza diverge.
Un ejemplo sencillo es la función
$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $$
para lo cual $I = \int_0^1 \mathrm{d}x \, \frac{1}{\sqrt{x}} = 2$ y $\sigma^2 = \int_0^1 \mathrm{d}x \, \left( \frac{1}{x} - 2 \right) = \left[ \ln x - 2x \right]_0^1 \rightarrow \infty$ .
Si $\sigma^2$ es finito se puede aproximar el error de la media $E$ por $\frac{S}{\sqrt{N}} \approx \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ , pero ¿y si $f(x)$ no es cuadrado-integrable?
