Pregunta de probabilidad acerca de las parejas casadas

Question

Si cuatro parejas casadas están dispuestos en una fila, ¿cuál es la probabilidad de que ningún marido se sienta junto a su esposa?

Sería

$1- \frac{2(4!)}{8!}$?

Answer 1

Primero vamos a la etiqueta de las parejas como $A1,A2,A3$$A4$.Definir los eventos $E1,E2,E3,E4$ como:

E1 = Event of A1 sitting together.
E2 = Event of A2 sitting together.
E3 = Event of A3 sitting together.
E4 = Event of A4 sitting together.

Por lo tanto,la probabilidad de $P\space(E1 \cup E2 \cup E3 \cup E4)$ le dará la probabilidad de que el caso en el que al menos una de las cuatro parejas se sientan juntos.

Así, la respuesta es $1-\space$$P\space(E1 \cup E2 \cup E3 \cup E4)$

PS:Se puede utilizar el principio de la mutua de inclusión y exclusión para encontrar $P\space(E1 \cup E2 \cup E3 \cup E4)$ y se debe dar a $\frac{23}{35}$ (si no he hecho ningún error de cálculo).

Answer 2

Suponiendo que el asiento de los 8 individuos al azar, de una manera de hacer esto es usar la inclusión principio de exclusión y a su vez un número de parejas en individuos virtuales por lo que deben sentarse uno al lado del otro para obtener $$1-\frac{ 2^1{4 \choose 1} 7! - 2^2{4 \choose 2} 6! + 2^3{4 \choose 3} 5! - 2^4{4 \choose 4} 4!}{8!}$$

Answer 3

Vamos a contar el complemento. Si al menos un par, juntos, usted tiene $\binom{4}{1} = 4$ formas de elección de la pareja, $2$ formas de organización de ellos, y $7$ posiciones en las que el lugar de ellos (la primera persona en la pareja no puede estar de pie en el último lugar de la línea), y el restante 6 posiciones puede ser llenado en $6!$ formas; esto da un total de $4\times 2\times 7\times 6! = 8!=40320$ maneras.

Sin embargo, este overcounts contando arreglos en los que más que una pareja se sienta juntos dos veces. Si al menos dos parejas de pie juntos, tenemos $4\times 3$ maneras de elegir el primer y el segundo par, $4$ formas de organización de ellos, 15 maneras de estar en la línea en que orden, y $4!$ de llenado en los 4 restantes lugares, para un total de $4\times 3\times 4\times 15\times 4! = 17280$ maneras.

Si al menos 3 parejas de pie juntos, tenemos $4\times 3\times 2$ formas de elección de las parejas (en este orden), $8$ formas de organizar entre ellos, 10 formas de organizar de la línea, y $2$ maneras de llenar los asientos restantes, para un total de $4\times 3\times 2\times 8\times 10\times 2= 3840$ maneras.

Si todas las cuatro parejas se sientan juntos, tenemos $4\times 3\times 2\times 1$ forma de organizar las parejas, y $2^4 = 16$ formas de organización de cada par, para un total de $384$ maneras.

Así que, vamos a ver: cuando contamos "al menos un par, juntos", nos cuenta los arreglos con exactamente una pareja juntos una vez, los arreglos con exactamente dos parejas juntos dos veces; los arreglos con exactamente tres parejas, tres veces, y los acuerdos con las cuatro parejas, junto a cuatro veces.

Cuando podamos "al menos dos parejas juntos", nos cuenta los arreglos con exactamente dos parejas juntos una vez, los arreglos con exactamente tres parejas, junto a $\binom{3}{2}=3$ veces; y los acuerdos con las cuatro parejas, junto a $\binom{4}{2}=6$ veces.

Cuando podamos "al menos tres parejas juntos", nos cuenta los arreglos con exactamente tres parejas juntos una vez, y los acuerdos con las cuatro parejas, junto a $\binom{4}{3}=4$ veces.

Así que si tomamos: $$(\text{at least one}) - (\text{at least two}) + (\text{at least three}) - (\text{all four})$$ podemos obtener el número correcto.