Es allí cualquier conjunto infinito que no tiene discontinuo infinitos subconjuntos?

Question

Es allí cualquier conjunto infinito que no tiene discontinuo infinitos subconjuntos?
Yo reclamo que la respuesta es NO!

Prueba:
Deje $S$ ser cualquier conjunto infinito. Tomar una contables subconjunto $A$$S.$, Entonces podemos encontrar un bijection $f:A\to\mathbb{N}.$ Definir $B=\{b\in A:f(b)\, \text{is even}\}$ $C=\{c\in A:f(c)\,\text{is odd}\}.$
Entonces claramente $B$ $C$ son distintos infinitos subconjuntos de a $S.$
Por lo tanto hemos terminado.

Estoy en lo cierto?
Si esto es correcto, esta prueba dependen del hecho de que "Todo conjunto infinito tiene una contables subconjunto."
Podemos probar el mismo resultado sin usar por encima de hecho?

Answer 1

Suponiendo que el axioma de elección, sí. Cada conjunto infinito tiene un countably subconjunto infinito. Ya que se puede dividir una contables establece dos distintos conjuntos infinitos, podemos dividir el conjunto original en dos distintos conjuntos infinitos.

Sin embargo, sin el axioma de elección es coherente que existe un conjunto infinito que no puede ser dividido en dos distintos conjuntos infinitos. Dicho conjunto se denomina amorfo.