No-estándar de pruebas de la norma teoremas

Question

En Richard Kaye el libro de los Modelos de la aritmética de Peano, que uno puede leer en la página 13):

Hemos demostrado que cualquier anormales $M \models \mathrm{Th}(\mathbb{N})$ tiene un no estándar $a \in M \models \theta(a)$ fib hay infinitamente muchos $k \in \mathbb{N}$ satisfacción $\mathbb{N} \models \theta(\underline{k})$. Esta observación es la base de muchas elegante "no estándar" en las pruebas de los teoremas acerca de $\mathbb{N}$.

donde $\theta(x)$ es una fórmula sobre la lengua $\mathcal{L}_A= \{0,1,+,\times ,<\}$ sólo con uno de los free-variable $x$.

¿Sabe usted como elegante pruebas?

Answer 1

Aquí está un ejemplo: usamos el no estándar método descrito por Kaye con el fin de demostrar la infinitud de los números primos.

Deje $M$ ser un modelo de $\text{Th}(\mathbb{N})$ que contiene un elemento $a$ que es divisible por cada estándar de número de $n \in \mathbb{N}$. (El uso de compacidad para demostrar que un modelo de $M$ de hecho existe). Ahora, $a+1$ no puede ser divisible por cualquier número estándar $n>1$ pero debe haber un primer $p$ dividiendo $a$. De ello se desprende que $p$ es un no estándar prime y esto implica la infinitud de los números primos.