Sólo algunos de trabajo:
si $x=d_m d_{m-1} d_{m-2}\dots d_1 d_0, espacio \d_0 = 1, d_i=0 \text{ o } 1$ es el número que estamos buscando,
denotar $x_n=d_m d_{m-1} d_{m-2}\dots d_{n+1} d_n$
Así,
$$ x =x_0 = 10x_1+d_0 = 10x_1+1 =y^2 $ $ $$y
$$ 10x_1+1=y^2 $$
$$ 10x_1=y^2-1 $$
$$ 10x_1=(y+1)(y-1) $$
$$ 2.5.x_1=(y+1)(y-1) $$
así
$$ y+1=2k \text{ o } 5k $$
o
$$ y-1=2k \text{ o } 5k $$
$ $ $ y=2k-1 \text{ o } 5k-1 \text{ o } 2k+1 \text{ o } 5k+1 $$
I. e $ y = 1 \mod 2, \text{ o } espacio \1 \text{ o } 4 \mod 5 $.
También
$ x_1=10x_2 + d_1 $ para $ x_1=10x_2 \text{ o } x_1=10x_2 + 1 $
I. e.
$ De$ 10(10x_2[+1])+1=y^2 $$
A $ 100.x_2=y^2-[1,11] $$
Así
$ De$ 10^2.x_2=[2k-1 \text{ o } 5k-1 \text{ o } 2k+1 \text{ o } 5k+1]^2-[1,11] $$
$$ =2^2k^2-2k-[0,10] $$ o
$$ =2^2k^2+2k-[0,10] $$ o
$$ =5^2k^2-10k-[0,10] $$ o
$$ =5^2k^2+10k-[0,10] $$
Del mismo modo
$ x_2 = 10x_3+d_2 = 10x_3 \text{ o } 10x_3 + 1 $
$ De$ 10^3.x_3 $$
$$ =2^2k^2-2k-[0,10,20] $$ o
$$ =2^2k^2+2k-[0,10,20] $$ o
$$ =5^2k^2-10k-[0,10,20] $$ o
$$ =5^2k^2+10k-[0,10,20] $$
La generalización de
$ De$ 10^n.x_n $$
$$ =2^2k^2-2k-10l $$ o
$$ =2^2k^2+2k-10l $$ o
$$ =5^2k^2-10k-10l $$ o
$$ =5^2k^2+10k-10 l, 0<=l<n $$
Así que en primer lugar, $ \mod 10 $
$$ 2^2k^2-2k = 0 $$ o
$$ 2^2k^2+2k = 0 $$ o
$$ 5^2k^2 = 0 $$
yo.e
$$ k = 0 \mod 2 $$
deje de $ 2j=k $
es decir,
$ De$ 10^n.x_n $$
$$ =16j^2-4j-10l $$ o
$$ =16j^2+4j-10l $$ o
$$ =100j^2-20j-10l $$ o
$$ =100j^2+20j-10 l, 0<=l<n $$
Y para cualquiera que esté buscando, la $j$, $l$ y que "o" fórmulas puede (se) varían para cada $n$.
