Por favor me ayudan a mostrar, que $(\ln x)'=\frac1 x$

Question

En la escuela, recientemente hemos comenzado con derivaciones. Miré en una lista de simples derivaciones y trataron de demostrar que ellos, en orden a la práctica. Ahora, traté de encontrar la derivada de $\ln x$, pero me atoré. Algunas páginas web sugieren utilizar la identidad de $e = \lim_{h\to\infty}\left(1+h^{-1}\right)^h$, pero todavía no consigo una solución. Empecé por el enfoque básico:

$$(\ln x)'=\lim_{\Delta\to0}\frac{\ln(x+\Delta)-\ln x}\Delta$$

Pero no he encontrado una manera de conseguir algo útil de este. Por favor me ayude.

Answer 1

La forma más sencilla de encontrar la derivada del logaritmo natural es usar el Teorema de la Función Inversa (o de la Regla de la Cadena), pero ya que dicen que sólo recientemente ha comenzado, puede que no lo sepa todavía.

En lugar de eso, comenzamos con dos ingredientes. Una de ellas es que $\ln(u)$ es continua. Eso significa que si $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ existe, entonces $$\lim_{x\to a}\ln(f(x)) = \ln\left(\lim_{x\to a}f(x)\right).$$

El segundo ingrediente (que puede o no puede saber todavía) es que $$\lim_{h\to\infty}\left(1 + \frac{a}{h}\right)^h = e^a.$$ Para ver esto, observe que esto es inmediata si $a=0$; si $a\gt 0$, a continuación, hacer un rápido reescribir: $$\begin{align*} \lim_{h\to\infty}\left(1 + \frac{a}{h}\right)^h &= \lim_{h\to\infty}\left( 1 + \frac{1}{(h/a)}\right)^h\\ &=\lim_{h\to\infty}\left(\left(1 + \frac{1}{(h/a)}\right)^{h/a}\right)^a\\ &= \left(\lim_{h\to\infty}\left(1 + \frac{1}{(h/a)}\right)^{h/a}\right)^a. \end{align*}$$ Si $a\gt 0$,$h/a\to\infty$$h\to\infty$, por tanto, por la definición de $e$ se obtiene que $$\lim_{h\to\infty}\left(1+\frac{a}{h}\right)^h = \left(\lim_{(h/a)\to\infty}\left(1 + \frac{1}{(h/a)}\right)^{h/a}\right)^a = (e)^a = e^a.$$ Si $a\lt 0$, entonces la sustitución de $a$ $-a$ podemos hacer el mismo truco que encima después de demostrar que $$\lim_{h\to\infty}\left(1 - \frac{1}{h}\right)^h = e^{-1}.$$ De hecho, aunque se tarda un poco más algebraicas engaño: $$\begin{align*} \lim_{h\to\infty}\left(1 - \frac{1}{h}\right)^h &= \lim_{h\to\infty}\left(\frac{h-1}{h}\right)^h = \lim_{h\to\infty}\left(\frac{h}{h-1}\right)^{-h}\\ &= \left(\lim_{h\to\infty}\left(\frac{(h-1)+1}{h-1}\right)^h\right)^{-1}\\ &= \left(\lim_{h\to\infty}\left(1 + \frac{1}{h-1}\right)^h\right)^{-1}\\ &=\left(\lim_{h\to\infty}\left(1 + \frac{1}{h-1}\right)^{h-1}\left(1 + \frac{1}{h-1}\right)^1\right)^{-1}\\ &= \left(\lim_{h\to\infty}\left(1 + \frac{1}{h-1}\right)^{h-1}\lim_{h\to\infty}\left(1 + \frac{1}{h-1}\right)\right)^{-1}\\ &= \Bigl((e)(1)\Bigr)^{-1} = e^{-1}.\end{align*}$$

Entonces, en el límite anterior, si $a\lt 0$ luego reemplazarlo con $-a$ y cambiar el$+$$-$, para conseguir que el límite es igual a $(e^{-a})^{-1} = e^a$.

Y por último, con estos ingredientes en la mano, estamos listos. Tenemos: $$\begin{align*} \frac{d}{dx}\ln x &= \lim_{\Delta\to 0}\frac{\ln(x+\Delta)-\ln(x)}{\Delta}\\ &= \lim_{\Delta\to 0}\frac{1}{\Delta}\left(\ln(x+\Delta)-\ln(x)\right)\\ &=\lim_{\Delta\to 0}\frac{1}{\Delta}\ln\left(\frac{x+\Delta}{x}\right)\\ &=\lim_{\Delta\to 0}\frac{1}{\Delta}\ln\left(1 +\frac{\Delta}{x}\right)\\ &=\lim_{\Delta\to 0}\ln\left(\left(1 + \frac{\Delta}{x}\right)^{1/\Delta}\right)\\ &= \lim_{\Delta\to 0}\ln\left(\left(1 + \frac{1/x}{1/\Delta}\right)^{1/\Delta}\right). \end{align*}$$ Si $\Delta\to 0^+$,$\frac{1}{\Delta}\to\infty$, por lo tanto, dejar $h=\frac{1}{\Delta}$ tenemos: $$\lim_{\Delta\to 0^+}\left(1 + \frac{1/x}{1/\Delta}\right)^{1/\Delta} = \lim_{h\to\infty}\left( 1 + \frac{1/x}{h}\right)^h = e^{1/x}.$$ Si $\Delta\to 0^-$,$\frac{1}{\Delta}\to-\infty$, por lo tanto, dejar $h=-\frac{1}{\Delta}$, tenemos: $$\begin{align*} \lim_{\Delta\to 0^-}\left(1 + \frac{1/x}{1/\Delta}\right)^{1/\Delta} &= \lim_{h\to\infty}\left(1 - \frac{1/x}{h}\right)^{-h}\\ &= \lim_{h\to\infty}\left(\left(1 - \frac{1/x}{h}\right)^{h}\right)^{-1}\\ &= \left(e^{-1/x}\right)^{-1} = e^{1/x}. \end{align*}$$ Por lo tanto, tenemos: $$\begin{align*} (\ln x)' &= \lim_{\Delta\to 0}\frac{\ln(x+\Delta)-\ln(x)}{\Delta}\\ &= \ln\left(\lim_{\Delta\to 0}\left(1 + \frac{1/x}{1/\Delta}\right)^{1/\Delta}\right)\\ &= \ln\left(e^{1/x}\right) = \frac{1}{x}. \end{align*}$$

Y esta es la razón por la Regla de la Cadena o el Teorema de la Función Inversa son una mejor manera de probar esto...

Answer 2

Otra definición es la que $\log$ es la función inversa de la $\exp$. Con esta definición, ha $\log(\exp(t))=t$. Por la regla de la cadena, $\log'(\exp(t))\exp'(t)=1$$\log'(\exp(t))=1/\exp(t)$. Escribir $x=\exp(t)$ y consigue $\log'(x)=1/x$.

Answer 3

No es difícil $$ \lim\limits_{\delta\to 0}\frac{\log(x+\delta) - \log{x}}{\delta} = \lim\log\left(1 - \frac{\delta}{x}\right)^{1/\delta} $$

y, a continuación, acaba de poner a $h = \frac{1}{\delta}$. Por cierto, tienes una errata $(e^x)'$ - mejor escribir $\log'{x}$.

Answer 4

La definición es $$\log(x) = \int_1^x \frac{1}{t} \mathrm{d}t$$ and inverting it by the fundamental theorem of calculus gives $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \log(x) = \frac{1}{x}.$$