Estoy teniendo dificultad con el siguiente problema. Cualquier ayuda se agradece.
Problema: Considerar la secuencia de espacios de $l_p$ con la norma habitual. Si $1\le p\le q\le \infty$, quiero mostrar la siguiente desigualdad para cualquier secuencia $a$.
$$\|a\|_q\le \|a\|_p$$
Si nos restringimos a$\mathbb{R}^n$, pero todavía el uso de la $l_p$ normas, también quiero mostrar esto: $$\|a\|_q\le \|a\|_p\le n^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}\|a\|_q$$
El trabajo hasta ahora: tengo la fuerte sospecha de que una aplicación inteligente de Hölder es necesaria aquí, pero he intentado de la siguiente para la primera desigualdad:
En primer lugar, consideramos el caso en el que un número finito de elementos de la secuencia son cero. Queremos demostrar
$$||x||_q\le ||x||_p \Leftrightarrow \left(\sum_1^n |x_j|^q\right)^{\frac{1}{q}} \le \left(\sum_1^n |x_j|^p\right)^{\frac{1}{p}}.$$
Nos introducirá en $n$. El caso base es clara. Porque podemos multiplicar todas las variables por una constante sin afectar a la desigualdad, asumimos $x_n=1$. Supongamos que hemos probado en la desigualdad de la $n-1$. Entonces
$$\left(\sum_1^{n-1} |x_j|^q\right) \le \left(\sum_1^{n-1} |x_j|^p\right)^{\frac{q}{p}}$$
Esto es suficiente para mostrar que
$$\left(\sum_1^{n-1} |x_j|^q\right) + 1 \le \left(\sum_1^{n-1} |x_j|^p+1\right)^{\frac{q}{p}}$$
Esto es equivalente a
$$\left(\sum_1^{n-1} |x_j|^q\right)\le \left(\sum_1^{n-1} |x_j|^p+1\right)^{\frac{q}{p}}-1$$
Así que tenemos que demostrar que si $f(x)=x^{q/p}$,$f(x+1)\ge f(x)+1$. Pero esto es claro, como $q\ge p$. Ahora creo que debería ser un asunto fácil para pasar a la $l_p$ espacios tomando límites.
No estoy seguro de qué hacer con la segunda desigualdad todavía.
