La distinción entre 'adjunto' y 'formal adjunto'

Question

en el análisis funcional, se encuentran los términos 'adjunto' y 'formal adjunto'.

¿Qué hace 'formal' en ese caso significa? Suena como un indicio de que 'formal adjoints la falta de una cierta propiedad para hacer de ellos una 'verdadera' adjunto.

Yo no tengo dónde encontrar una definición, y que me encantaría conocer.

Answer 1

Estás hablando de los operadores diferenciales de funciones de más de un dominio en $\mathbb{R}^d$? (Este es el contexto en el que la frase "formal adjunto" normalmente.)

La idea es que el trabajo con, digamos, las funciones lisas con soporte compacto, tenemos la fórmula de integración por partes

$$ \int Du\cdot v ~dx + \int u\cdot Dv~ dx = 0 $$

Así que si un lineales en derivadas parciales operador se define como $P = \sum A_\alpha D^\alpha$ donde $\alpha$ son multi-índices, puede escribir $P'$ como lineal en derivadas parciales operador $P'\phi = \sum (-1)^{|\alpha|} D^\alpha(A_\alpha \phi)$ y generalizar la fórmula de integración por partes

$$ \int Pu \cdot v~dx = \int u \cdot P'v~ dx $$

lo que se ve, en la forma, sospechosamente parecido a la adjoint con respecto a la $L^2$ producto interior. Es decir, la escritura de $\langle,\rangle$ $L^2$ interior producto de las funciones con valores reales,

$$ \langle Pu,v\rangle = \langle u, P'v\rangle $$

La razón por la que llamamos a esto una formal adjunto es porque, técnicamente, para tomar un adjunto (en el espacio de Hilbert sentido, también hay una noción de los espacios de Banach) de un operador, deberá especificar el espacio de Hilbert se trabaja a través de. En el caso de los formales adjunto, se deja sin especificar: de hecho, la fórmula sólo para mantener realmente lo suficientemente suaves función de descomposición suficientemente rápido en el infinito, y no en general para funciones arbitrarias $u,v\in L^2$.

En general para los operadores diferenciales, el operador no será delimitada en un $L^2$ espacio de Hilbert, y así, el operador solo está densamente definido en el espacio de Hilbert. Por lo tanto el medico adjunto sólo puede ser definido en otro subconjunto del espacio de Hilbert, el dominio de los adjuntos. (En la mayoría de los casos generales, el dominio de la adjuntos pueden ser mucho, mucho más pequeño ajuste [incluso finito dimensionales], por lo que no tiene mucho sentido como un operador en el original espacio de Hilbert. Para los operadores diferenciales, el adjunto es todavía densamente definido utilizando la densidad de $C^\infty_0$$L^2$.) (Tenga en cuenta que si el spactial dominio tiene un límite, el de la integración por partes de la fórmula recoge un término en general, por lo que recoger un problema adicional con la noción de adjoints, relacionado con el hecho de que $C^\infty_0(\Omega)$ no es denso en el espacio de Sobolev $W^{1,2}(\Omega)$ al $\Omega$ tiene límite.)

Mientras que la palabra "formal" es, creo yo, no se menciona explícitamente, muchos de los problemas que pueden surgir cuando se trata de operadores no acotados se discuten en el capítulo 8 de Reed-Simon, "los Métodos de la física matemática".

Answer 2

Es esto lo que estás buscando?

http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_operator#Formal_adjoint_in_one_variable