Única factorización en $\mathbb Z(\sqrt{-19})$

Question

Primaria confusión sobre el número de clase:

En $\mathbb Z(\sqrt{-19})$ tenemos $N(1+\sqrt{-19}) = (1+\sqrt{-19})(1-\sqrt{-19}) = 2^2\cdot 5.$

Veo que 2 y 5 son irreductibles, 4 no lo es.

En un UFD un no-cero, no de la unidad de elemento puede ser un factor de forma exclusiva (hasta associates) como de un número finito de producto de irreducibles. Lo que se trata de los dos factorizations de 20 por encima de lo que le impide ser no trivial distintos factorizations en un número finito de producto de irreducibles?

Gracias.

Answer 1

Vamos $u = \frac{1+ \sqrt {-19}}2$. $u$ es un entero algebraico (debido a $u^2 = u-5$). Y así el anillo de enteros de $\Bbb Q(\sqrt {-19})$ $\Bbb Z[u]$ e no $\Bbb Z[\sqrt{ -19}]$.

$\Bbb Z[u]$ ha factorización única. Por ejemplo, $u$ $1-u$ son irreductibles, y $5$ factores $u(1-u)$.

Answer 2

Eso es debido a que $\mathbb{Z}[\sqrt{-19}]$ no es integralmente cerrado. Desde $-19 \equiv 1 \pmod 4$, los números de la forma $\frac{a}{2} + \frac{b \sqrt{-19}}{2}$ ($a$$b$ de la misma paridad) son también algebraica de los números enteros. Observar que $$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-19}}{2}\right)\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-19}}{2}\right) = 5.$$ The former factor is an algebraic integer with minimal polynomial $x^2 - x + 5$, and the latter factor has the same minimal polynomial. This means that in $\mathcal{S}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-19})}$, 5 is actually "composite"! It should also be clear that $1 + \sqrt{-19}$ is also reducible; to claim it as a prime factor of 20 in $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-19})}$ would be just as erroneous as saying 10 is a prime factor of 20 in $\mathbb{Z}$. The complete factorization of 20 in $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-19})}$ is then $$2^2 \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-19}}{2}\right)\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-19}}{2}\right) = 20.$$