Encontrar $f'(1)$ si $f$ es continua y tal que $f (f (x))=1+x$ por cada $x$

Question

Si $ f $ es una función continua satisfacción de $f (f (x))=1+x$$f'(1)$.

Yo sólo adivinaba $f (x)=x+1/2$.Cualquier método formal para esta suma ?

Answer 1

Aquí está una familia de continuo soluciones:

Escoger el continuo aumento de la bijection $g : [0, 1/2] \to [0, 1/2]$ (de modo que, en particular,$g(0) = 0$$g(1/2) = 1/2$). Ahora defina $f$ $[0, 1]$ por

$$ f(x) = \begin{cases} g(x) + \frac{1}{2}, & x \in [0, \frac{1}{2}] \\ g^{-1}(x - \frac{1}{2}) + 1, & x \in [\frac{1}{2}, 1] \end{casos} $$

y extenderlo a todos los de $\Bbb{R}$ por la relación $f(x + 1) = f(x) + 1$. Por el pegado de lema, $f$ es continua. Por otra parte,

• Si $x \in [0, \frac{1}{2}]$ $$f(f(x)) = f(g(x) + \tfrac{1}{2}) = g^{-1}(g(x)) + 1 = x + 1. $$

• Si $x \in [\frac{1}{2}, 1]$, luego \begin{align*} f(f(x)) &= f(g^{-1}(x - \tfrac{1}{2}) + 1) = f(g^{-1}(x - \tfrac{1}{2})) + 1 \\ &= g(g^{-1}(x - \tfrac{1}{2})) + \tfrac{3}{2} = x + 1 \end{align*}

• Para arbitrario $x \in \Bbb{R}$, tenemos $$f(f(x)) = f(f(x - [x]) + [x]) = f(f(x - [x])) + [x] = (x - [x] + 1) + [x] = x + 1. $$

Por lo tanto, $f$ es continuo y se resuelve la relación dada. Pero tanto el la diferenciabilidad de $f$ y el valor de $f'(1)$ (cuando existe) depende de la elección de $g$, no tenemos una respuesta única.

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Adenda. Al extender este argumento un poco, yo era capaz de describir la solución:

La reclamación. $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ es un continuo de la solución de la ecuación de $f(f(x)) = x+1$ si y sólo si existe $a \in (0, 1)$ un continuo aumento de la bijection $g : [0, a] \to [0, 1-a]$ tal que $f(x)$ está dado por $$ f(x) = \begin{cases} g(x) + a, & x \in [0, a] \\ g^{-1}(x - a) + 1, & x \in [a, 1], \\ f(x - [x]) + [x], & \text{otherwise} \end{casos} \etiqueta{*} $$

Es sencillo comprobar que $\text{(*)}$ resuelve la ecuación anterior. Ahora pretendemos que cualquier continua de la solución de la ecuación de $f(f(x)) = x+1$ es de la forma $\text{(*)}$.

1. A partir de la ecuación $f(f(x)) = x+1$, sabemos que $f$ es tanto inyectiva y surjective.

2. Desde $f$ es continua y bijective, es ya sea aumentando o disminuyendo. Pero ya $$f(x+1) = f(f(f(x))) = f(x) + 1, $$ $f$ debe ser creciente.

3. Deje $a = f(0)$. Pretendemos que $a \in (0, 1)$. Para este fin, asumir lo contrario. Si $a \leq 0$,$1 = f(a) \leq f(0) = a \leq 0$, una contradicción. Si $a \geq 1$,$2 \leq a + 1 = f(1) \leq f(a) = 1$, una contradicción.

4. Definir $g : [0, a] \to \Bbb{R}$$g(x) = f(x) - a$. A continuación, $g$ es continua en aumento y $g(0) = 0$. Por otra parte, $g(a) = f(a) - a = 1 - a$ y por lo tanto el rango de $g$$[0, 1-a]$.

5. Al $x \in [0, a]$ tenemos $x = f(f(x)) - 1 = f(g(x) + a) - 1$ e lo $g^{-1}(y) = f(y+a) - 1$.

La combinación en conjunto, nos encontramos con que $f(x)$ satisface $\text{(*)}$ $g$ definido anteriormente como se desee.

Answer 2

Tomar la $\lim_{x\rightarrow 1}{{f(f(x))-f(f(1))}\over {x-1}} =\lim_{x\rightarrow 1}{{x+1-2}\over{ x-1}}=1.$

Por lo $f'(f(1))=1$.

Ahora nos derivada para x:

$${d\over {dx}}[f(f(x))]={d\over dx}(1+x)$$ $$f'(x)\cdot f'(f(x))=1.$$ Hence for $x=1:$ $$f'(1)\cdot f'(f(1))=1$$ $$f'(1)\cdot 1=1$$ $$f'(1)=1.$$

Answer 3

La relación de $f(f(x))=x+1$ implica que el $f^{-1}(x+1)=f(x)$. Esto implica que cuando la función inversa es desplazado a la izquierda por una unidad que se debe dar la espalda a la función original. De hecho, $f(x)=x+1/2$ satisface este requisito y ha $f^{-1}(x)=x-\frac{1}{2}$. Aunque esto no muestra que esta es la única función, no puede ser más