Factorización del polinomio cuártico.

Question

Quiero saber otras formas de factorización para obtener factores cuadráticos en este polinomio:

$$x^4+2x^3+3x^2+2x-3$$

Gracias de antemano por sus sugerencias.

El polinomio original es $$x^6-2x^3-4x^2+8x-3$$ donde los dos factores encontrados son $(x+1)$ y $(x-1)$ por división sintética.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$(x^2 + x + 1)^2 = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1$$ lo que significa que su polinomio es igual a $$(x^2 + x + 1)^2 - 4 = (x^2 + x + 1)^2 - 2^2 = (x^2 + x + 1 - 2)(x^2 + x + 1 + 2)$$

Answer 2

Se puede intentar utilizar el teorema de la raíz racional. Pero eso no es posible en este caso porque no hay ninguna raíz racional.

Otra cosa que podemos probar (si no " véase " cualquier cosa) es escribir

$$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)\equiv x^4+2x^3+3x^2+2x-3$$

$$x^4+(a+c)x^3+(d+ac+b)x^2+(ad+bc)x+bd\equiv x^4+2x^3+3x^2+2x-3$$

y luego resolver:

\begin {casos} a+c=2 \\ d+ac+b=3 \\ ad+bc=2 \\ bd=-3 \end {casos}

EDITAR:

Una vez que esta respuesta reciba atención, explicaré más.

Como ya se ha dicho, este es un enfoque cuando no tenemos ninguna idea clara de cómo proceder. Resolver el sistema depende de cómo se vea y cada sistema es un sistema nuevo. Sin embargo, esa idea funciona para muchos casos a los que solemos enfrentarnos.

La primera idea para resolver el sistema es buscar soluciones enteras. En ese camino, la mejor ecuación para empezar es $bd=-3$ . Eso nos da las posibilidades $(b,d)=\{(-1,3),(1,-3),(-3,1),(3,-1)\}$ . Ahora introducimos esas posibilidades en el sistema y comprobamos si encontramos $a$ y $c$ que lo resuelven. Después de hacer eso vemos que las soluciones son $(a,b,c,d)=\{(1,-1,1,3),(1,3,1,-1)\}$ . Pero ambos nos dan la misma factorización.

Answer 3

Solución del teorema de la raíz racional

Podemos reducir el problema a un problema directo de Teorema de la Raíz Racional como sigue. Comenzamos reduciendo el polinomio módulo $x^2 - p x - q$ donde $p$ y $q$ son números enteros indeterminados que queremos elegir de forma que den como resultado cero. Esto equivale a poner $x^2 = p x + q$ y las potencias superiores se reducen multiplicando esta regla por $x$ y luego aplicar de nuevo esta regla de reducción. Así, el polinomio se convierte en una función lineal aplicando las sustituciones:

$$\begin{split} x^2 &= p x + q\\ x^3 &= p x^2 + q x&= (p^2 + q)x + pq\\ x^4 &= p x^3 + q x^2 &= p(p^2+2q)x+q(p^2+q) \end{split}$$

El polinomio reducido módulo $x^2 - p x - q$ entonces se convierte en:

$$\left(p^3 + 2 pq + 2 p^2 +2 q+3p + 2\right)x +p^2 q + q^2 + 2 pq + 2 q-3\tag{1}$$

Necesitamos encontrar enteros $p$ y $q$ tal que la función anterior es idéntica a cero. Podemos simplificar las cosas usando que la función es entonces también cero para valores especiales para $x$ lo que nos permite elegir un valor para $x$ que simplifica mucho las cosas. Elección de $x = -\frac{q}{p}$ elimina el $p^3$ y algunos términos más, fijando lo que queda igual a cero se obtiene una ecuación lineal para $p$ en términos de $q$ . Expresando $p$ en términos de $q$ rendimientos:

$$p = -\frac{2q(q+1)}{q^2+q+3}\tag{2}$$

Podemos entonces sustituir esto en el término constante de la ec. (1), poniendo la expresión resultante igual a cero se obtiene la ecuación:

$$q^6 + 3 q^5 + 7 q^4 + 10 q^3 - 21 q^2 + 27 q - 27 = 0\tag{3}$$

Aquí hemos fijado el numerador de la función racional resultante igual a cero. Ahora sabemos que $q$ debe ser un número entero, por lo que se garantiza el éxito del Teorema de la Raíz Racional y la inserción de cualquier solución para $q$ (cuyo denominador no es cero) en la ecuación (2) siempre dará lugar a $p$ tal que $x^2 - p x - q$ es un factor del polinomio. Se puede demostrar fácilmente que este método funciona para polinomios generales de cuarto grado.

Obsérvese también que la aplicación del teorema de la raíz racional para encontrar la solución entera puede hacerse muy eficiente desplazando la variable. Si el valor de un polinomio para algún valor $u$ no es cero, entonces este es el valor del término constante del polinomio obtenido al trasladar la variable por $u$ . Así, factorizando el valor que acabas de obtener obtienes las raíces candidatas de ese polinomio traducido, sumando $u$ a esos valores da lugar a los candidatos a raíz del polinomio original. Las raíces candidatas deben estar en la intersección de la lista original y la nueva lista. Repitiendo este método, la lista de candidatos a raíz se reducirá rápidamente. Por eso encuentro el Teorema de la Raíz Racional una herramienta tan poderosa y por eso, al menos en mi opinión, vale la pena reducir los problemas a problemas del Teorema de la Raíz Racional.