$1/i=i$. Debo estar equivocado, pero ¿por qué?

Question

$$\frac{1}{i} = \frac{1}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{-1} = i$$

Sé que esto está mal, pero ¿por qué? A menudo veo a la gente haciendo las simplificaciones tales como $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, y me gustaría calcular esta simplificación en la forma que se muestra arriba, es decir,

$$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Answer 1

Lo que ustedes están haciendo es una versión de $$-1=i^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt1=1.$$ Simplemente muestra que no son números positivos, no siempre es cierto que $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$.

Answer 2

$$\frac1{\sqrt{-1}}=\sqrt{-1}$$ es cierto sólo en el sentido de que $1$ más de una raíz cuadrada de $-1$ es una raíz cuadrada de $-1$. Sin embargo, hay dos raíces cuadradas de cada no-cero de número complejo, así que asegúrese de elegir la correcta. Para las raíces cuadradas de los no-negativos los números reales se trabaja para alcanzar consecuentemente la no-negativo de la raíz cuadrada, pero tal regla no existe para todos los números complejos.

Answer 3

Se asume que $\sqrt{-1}=i$, pero es erróneo escribir tal cosa, porque la función de raíz cuadrada es realmente define como una función sólo de argumento positivo, y tiene valores positivos. Si usted escribe en todas partes $\pm \sqrt{a}$ en vez de $\sqrt{a}$ (porque en realidad significa "raíz de $x^2-a$" y tiene dos raíces), entonces todo lo que escribió es "casi correcta".

Answer 4

Incluso para los números reales, hay dos raíces cuadradas. $(-2)^2 = 2^2 =4$, por lo tanto $2$ y $-2$ puede ser pensado como una de las raíces cuadradas de 4$$. En los números reales, tenemos una manera fácil de elegir uno de los dos: acaba de escoger siempre el positivo. Entonces definimos $\sqrt{x}$ a ser la raíz cuadrada positiva de $x$. En el caso complejo, no tenemos una orden, y así no hay manera consistente para elegir una de las dos raíces cuadradas. Por lo que $\sqrt{z}$ no es realmente una función: es una función de varios valores. Que surge la confusión de pensar que $\sqrt{i}$ indica que sólo un número.

Answer 5

Es incorrecto, porque la regla de cálculo de raíces cuadradas sólo funciona para los reales no negativos raíces.