Una es $2\times 2$ matriz, $A^2=I$ , hallar la traza y det

Question

[Pregunta]:

Supongamos que a es Un a $2\times 2$ matriz, $A^2=I$.

Si Un $\ne$ $I,-I$ , encontrar$tr(A)$$det(A)$.

[Solución]:

Hay $3$ de los casos para los autovalores de A.

el caso de(i) $1,1$.

caso(ii) $-1,-1$.

caso(iii) $1,-1$.

Supongo que sólo el caso(iii) se mantiene.

Pero no tengo idea de si los casos(i) y (ii) mantenga.

Sé que $tr(A)$ es la suma de la suma de los autovalores y $det(A)$ es el producto de los autovalores.

Así que la respuesta es $tr(A)=0$ , $det(A)=-1$ ?

Gracias.

Answer 1

El polinomio mínimo de a $A$ es un factor de $X^2-1$ y por lo tanto hay tres posibilidades:

• $X-1$, y, a continuación,$A=I$.

• $X+1$, y, a continuación,$A=-I$.

• $X^2-1$, y, a continuación, coincide con el polinomio característico.

Por hipótesis, la única posibilidad es la última.

Desde el polinomio característico de a $2\times2$ matriz es $X^2-\operatorname{tr}(A)X+\det(A)$, llegamos a la conclusión de que $\operatorname {tr}(A)=0$$\det(A)=-1$.

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Podemos evitar hablar de un mínimo de polinomios de la siguiente manera.

De $A^2=I$ $A^2-\operatorname{tr}(A)A+\det(A)I=0$ obtenemos $\operatorname{tr}(A)A=(1+\det(A))I$. Si $\operatorname{tr}(A)\ne0$,$A=\lambda I$$\lambda=\pm1$, lo cual no está permitido. Por lo tanto, $\operatorname {tr}(A)=0$$\det(A)=-1$.

Answer 2

Deje $J$ ser la forma normal de Jordan de la matriz, de modo que existe una matriz de $P$ tal que $PAP^{-1} = J$. A continuación,$J^2 = PA^2P^{-1} = PP^{-1} = I$. Dado que la forma normal de Jordan conserva la traza y el determinante, es suficiente para considerar estos.

Nosotros de hecho se sabe que los valores deben ser $\pm 1$. Desde $A \notin \{I,-I\}$, sólo hay $3$ posible Jordania formas normales $J$: $$\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1 & 1\\ 0 & -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$$ Sin embargo, el cuadrado de la primera matriz es $$ \begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}$$ y el cuadrado de la segunda matriz es $$ \begin{pmatrix}1 & -2\\ 0 & 1\end{pmatrix}$$ Así que la única forma normal de Jordan que funciona es la tercera, que ha $\det(A) = -1$$\operatorname{tr}(A) = 0$.

Answer 3

Desde $A$ es una "pequeña" de la matriz, me parece más fácil que un ataque de fuerza bruta enfoque que el uso de grandes teoremas:

Vamos $$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$ Entonces $$A^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$

Supongamos que $a+d=\text{Tr}(A)\neq 0$. Luego, a partir de las células de la $(1,2)$ $(2,1)$ obtenemos $b=c=0$. Ahora, a partir de la diagonal principal obtenemos $a^2=d^2=1$, y desde $A$ no $I$ ni $-I$, obtenemos que $ad=-1$, una contradicción. Por lo $\text{Tr}(A)=0$, $a=-d$.

Ahora $$\det(A)=ad-bc=-a^2-bc=-1$$

Answer 4

Para diagonalisable $A$, siempre tiene $$ A=UDU^{-1} $$ para una matriz diagonal $D$.

Si $\lambda_1=\lambda_2=1$, luego $$ D=1 $$ lo cual implicaría $A=1$.

Por una línea similar de razonamiento, si $\lambda_1=\lambda_2=-1$, luego $$ D=-1 $$ lo cual implicaría $A=-1$.

Como sabes que $1\neq A\neq -1$, el resto de la solución en el OP de la siguiente manera.

Answer 5

Debido a $A \ne I$$A \ne -I$, entonces existen vectores $x_1$, $x_2$ tal que $$ y_1= (a-I)x_1 \ne 0 \\ y_2 = (A+I)de x_2 \ne 0. $$ Debido a $A^2=I$, se deduce que el $(A+I)y_1=0$ o $Ay_1=-y_1$. Asimismo,$Ay_2=y_2$. De modo que los vectores $y_1,y_2$ son una base de vectores propios de a $A$ con autovalores $\pm 1$. Por lo $A$ es similar a $\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$, lo que le da $\mbox{tr}(A)=0$, $\mbox{det}(A)=-1$.