¿Por qué? $A \cup B = \mathbb{N}$ y $A \cap B = \varnothing$ ?

Question

Dejemos que $r,s$ son números irracionales y $r,s>1$ y $\frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1$ .

Definimos $A = \left\{ \left[ nr \right] : n \in \mathbb{N} \right\}$ y $B = \left\{ \left[ ns \right] : n \in \mathbb{N} \right\}$ .

¿Por qué? $A \cup B = \mathbb{N}$ y $A \cap B = \varnothing$ ?

Answer 1

Una forma de demostrarlo es escribir un criterio de pertenencia al conjunto $S_r=\{[nr]:n\in\mathbb Z\}$ , señalando que para $r>1$ el conjunto $\{[nr]:n\in\mathbb N\}$ es exactamente los elementos positivos del mismo. Para ello, hay que tener en cuenta que si $x=[nr]$ para algunos $n$ entonces $x=nr-f$ para algunos $0\leq f < 1$ . La reordenación da como resultado $$-x/r=-n+f/r.$$ Obsérvese que la existencia de una solución equivale a que las partes fraccionarias de ambos lados sean iguales, ya que tenemos un número entero $-n$ para elegir libremente. Así, podemos escribir de forma equivalente: $$\{-x/r\}=f/r.$$ Sin embargo, como $f$ es un elemento arbitrario de $[0,1)$ esto equivale a un último criterio necesario y suficiente para pertenecer a $S_r$ : $$\{-x/r\}<1/r$$ donde $\{y\}$ es la parte fraccionaria de $y$ - es decir, el elemento único $z$ de $[0,1)$ tal que $y-z$ es un número entero.

Entonces, lo que queda por demostrar es que para los irracionales $r$ y $s$ con $\frac{1}r+\frac{1}s=1$ para cualquier número entero positivo $x$ tenemos que $x$ está exactamente en uno de $S_r$ o $S_s$ . Es decir, se cumple exactamente una de las siguientes ecuaciones: $$\{-x/r\}<1/r$$ $$\{-x/s\}<1/s$$ Para ello, tenga en cuenta que $\frac{-x}r+\frac{-x}s=-x$ que es un número entero. Como ninguno de estos términos puede ser un entero debido a la irracionalidad, se deduce que $\{-x/r\}+\{-x/s\}=1$ . Así, podemos reordenar nuestras ecuaciones por sustitución: $$\{-x/r\}<1/r$$ $$1-\{-x/r\}<1-1/r.$$ O, lo que es lo mismo: $$\{-x/r\}<1/r$$ $$\{-x/r\}>1/r.$$ Evidentemente, exactamente una de ellas es válida a menos que $\{-x/r\}=1/r$ . Sin embargo, esto implicaría que $\frac{-x-1}r$ es un número entero, lo cual es imposible ya que $r$ es irracional y $-x-1$ es distinto de cero. Esto demuestra que se cumple exactamente una de estas condiciones o cualquier número entero positivo $x$ , lo que demuestra la afirmación deseada. Obsérvese que estas pruebas pueden extenderse para demostrar que $S_r\cup S_s = \mathbb Z\setminus \{-1\}$ y $S_r\cap S_s=\{0\}$ , observando que nuestro argumento funciona siempre que $\frac{-x}r$ y $\frac{-x-1}r$ no son números enteros.

Answer 2

Tenga en cuenta que para cualquier $x\in N$ , uno tiene $$\frac xr+\frac xs=x.$$ Desde $\frac xr$ y $\frac xs$ son irracionales, hay que tener $$\{\frac xr\}+\{\frac xs\}=1 \tag{1}$$ donde $\{f\}$ es la parte decimal de $f$ .

Paso 1. Mostrar $A\cap B=\emptyset$ . Claramente $A\neq \emptyset, B\neq\emptyset$ . Supongamos que $A\cap B\not=\emptyset$ . En concreto, hay $m,n\in N$ tal que $x=:\lfloor mr\rfloor=\lfloor ns\rfloor$ . Entonces hay $a,b\in (0,1)$ tal que $$mr=x+a,ns=x+b$$ del que se tiene $$\frac{x}{r}=m-\frac{a}{r}, \frac{x}{s}=n-\frac{b}{s}.$$ Así, se tiene $$\{\frac{x}{r}\}=1-\frac{a}{r}, \{\frac{x}{s}\}=1-\frac{b}{r}.$$ Utilizando (1), se tiene $$\frac a{r}+\frac{b}{s}=1. \tag{2}$$ Desde $a,b\in(0,1)$ , uno tiene $$\frac a{r}+\frac{b}{s}<\frac 1{r}+\frac{1}{s}=1$$ que está en contra de (2). Así que $A\cap B=\emptyset$ .

Paso 2. Mostrar $A\cup B=N$ . Para cualquier $x\in N$ , $$\{\frac xr\}+\{\frac xs\}=1.$$ Si $\{\frac xr\}<\frac 1r$ entonces $$\frac xr=m+\{\frac xr\}\text{ or }x=mr+r\{\frac xr\}$$ donde $m\in N$ y por lo tanto $x= \lfloor mr\rfloor\in A$ . Si $\{\frac xr\}>\frac 1r$ entonces $$\{\frac xs\}=1-\{\frac xr\}<1-\frac 1r=\frac1s.$$ Repitiendo lo mismo, uno tiene $x=\lfloor ns\rfloor\in B$ para algunos $n\in N$ . Si $\{\frac xr\}=\frac 1r$ entonces $\{\frac xs\}=\frac 1s$ y por lo tanto hay $m,n\in N$ tal que $$\lfloor mr\rfloor=x,\lfloor ns\rfloor=x$$ que da $x\in A\cap B$ . Desde el paso 1, es imposible.

Answer 3

Observemos en primer lugar que si $u$ , $v$ no son números enteros pero su suma es un número entero, entonces $$[u]+[v] =u+v-1$$ De hecho, escribe $u = [u]+ \epsilon$ , $v=[v]+ \delta$ . Entonces $\epsilon + \delta$ es un número entero, y $0< \epsilon, \delta < 1$ así que $\epsilon + \delta=1$ Hecho.

Utilizando lo anterior concluimos que para cada $N\ge 1$ natural que tenemos $$[\frac{N+1}{r}] + [\frac{N+1}{s}]=N$$ Pero tenemos $$\# (A \cap \{ 1,2, \ldots, N\})= [\frac{N+1}{r}]\\ \# (B \cap \{1,2, \ldots, N\} )= [\frac{N+1}{s}]$$ así que $$\#\{A \cap \{1,2, \ldots, N\} + \#(B \cap \{1,2, \ldots, N\}) = N$$ para todos $N\ge 1$ . Un momento de reflexión y concluimos que $A$ , $B$ forman una partición de $\mathbb{N}$