Cómo resolver esta serie: $\sum_{k=0}^{2n+1} (-1)^kk $

Question

$$\sum_{k=0}^{2n+1} (-1)^kk $$

La respuesta dada es $-n-1$ . He buscado como hacerlo, pero tengo problemas para simplificar la suma y resolverla. ¿Cómo se resuelve esto?

Answer 1

Agrupa los términos por parejas: $$\sum_{k=0}^{2n+1} (-1)^kk = \sum_{k=0}^{n} (2k - (2k+1)) = \sum_{k=0}^{n} (-1) = -(n+1)$$

Answer 2

Escríbelo: \begin{aligned} \sum_{k=0}^{2n+1} (-1)^kk&=0-1+2-3+\cdots+2n-(2n+1)\\ &=(0-1)+(2-3)+\cdots+[2n-(2n+1)]\\ &=(-1)+(-1)+\cdots+(-1)\\ &=(n+1)(-1)\\ &=-n-1. \end{aligned}

Answer 3

Divídelo en dos series:

\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{2n+1}(-1)^kk &=\left(\sum\limits_{k=0}^{n}2k\right)-\left(\sum\limits_{k=0}^{n}2k+1\right)\\ &=\left(\sum\limits_{k=0}^{n}2k\right)-\left(\sum\limits_{k=0}^{n}2k\right)-\left(\sum\limits_{k=0}^{n}1\right)\\ &=-\sum\limits_{k=0}^{n}1\\ &=-(n+1)\,. \end{align*}

Answer 4

Lo has hecho:

$$ \begin{align} \sum_{k=0}^{2n+1} (-1)^k k &= \sum_{k=0}^{n} 2k - \sum_{k=0}^{n} (2k+1) \\ &= \sum_{k=0}^{n} 2k - \sum_{k=0}^{n} 2k - \sum_{k=0}^{n} 1 \\ &= - \sum_{k=0}^{n} 1 \\ &= -(n+1) \end{align} $$

Answer 5

Otro enfoque consiste en aprovechar la suma $$\sum_{k=0}^{2n+1}x^{k}=\frac{1-x^{2n+2}}{1-x}. $$ Tomando la derivada tenemos $$\sum_{k=0}^{2n+1}kx^{k}=\sum_{k=1}^{2n+1}kx^{k}=x\frac{-\left(2n+2\right)x^{2n+1}\left(1-x\right)+1-x^{2n+2}}{\left(1-x\right)^{2}} $$ por lo tanto tomando $x=-1 $ obtenemos $$\sum_{k=0}^{2n+1}k\left(-1\right)^{k}=\color{red}{-\left(n+1\right)}$$ como quería.