Countably generado sigma-álgebras

Question

Esta pregunta indaga si cada familia $\mathcal A\subseteq\mathcal P(X)$ está contenida en un countably generado
$\sigma$-álgebra. (El OP estipula que $\mathcal A$ es en sí mismo un $\sigma$-álgebra, pero que claramente no importa). Las respuestas proporcionan contraejemplos con $|\mathcal A|\gt2^{\aleph_0}$ o $|X|=2^{2^{\aleph_0}}.$ me gustaría ver un contraejemplo a $|\mathcal A|\le2^{\aleph_0}$ $|X|\le2^{\aleph_0}.$

Pregunta. Hay una familia $\mathcal A\subset\mathcal P(\mathbb R)$ tal que $|\mathcal A|\le2^{\aleph_0}$ $\mathcal A$ no figura en ningún countably generadas $\sigma$-álgebra?

Answer 1

Reclamo: en Virtud de CH, no hay familia.

Prueba: Recordar que $\mathcal{P}(\omega_1) \otimes \mathcal{P}(\omega_1) = \mathcal{P}(\omega_1 \times \omega_1)$ (resultado de la B. V. Rao, En los diferentes espacios de Borel y proyectiva conjuntos, Toro Amer. De matemáticas. Soc. 75 (1969), 614-617). Dado $\{A_i : i < \omega_1\} \in [\omega_1]^{\omega_1}$, seleccione $\{(X_n, Y_n): n < \omega\}$, $X_n, Y_n \subseteq \omega_1$, tal que el sigma álgebra generada por $\{X_n \times Y_n : n < \omega \}$ contiene $\{(i, x): i < \omega_1, x \in A_i\}$. De ello se desprende que el sigma álgebra generada por $\{Y_n : n < \omega\}$ contiene cada una de las $A_i$.

En la otra dirección, Arnold W. Miller, Genérico Souslin conjuntos, Pacífico J. Math. 97 (1981), 171-181 demostró que es coherente que no hay ninguna contables de la familia $\cal{F} \subseteq \mathcal{P}(\mathbb{R})$ de manera tal que el sigma álgebra generada por $\mathcal{F}$ contiene todos los analíticos conjuntos. De modo que la existencia de una familia es independiente de ZFC.