Impacto de la Geometría de Riemann sobre la Teoría de grupos

Question

En la página de Wikipedia para la Geometría de Riemann, se menciona que el campo había hecho un "impacto profundo en la teoría de grupos".

¿Cuáles son algunos ejemplos de esto?

Mirando un poco alrededor (incluyendo en esa página), se parece más es al revés (es decir, la teoría de grupo informa de Riemann colector de teoría). E. g. el análisis de un colector con su grupo fundamental, o con la Mentira de la teoría. (Pero tal vez estas pueden ser vistos a la inversa.)

Answer 1

Felix Klein y más tarde Élie Cartan introdujo el estudio de estructuras geométricas en los colectores a través de álgebra (y, en particular, a través de la teoría del grupo). Esta es una relación recíproca, y se puede argumentar que la geometría motiva el estudio de la teoría de grupo (o de álgebra en general), o viceversa, que el estudio de la teoría de grupos (o álgebra) se aplica a la geometría. En algunos casos esta relación es aún "un bijection", por ejemplo, compacta plana de Riemann colectores están clasificados por grupos de Bieberbach. Grupos cristalográficos y sus generalizaciones son, quizás, un ejemplo que fueron estudiados originalmente como grupos de simetría de los cristales, pero más tarde recibió un "impacto profundo" de Riemann (y pseudo-Riemann) colectores y sus grupos fundamentales. En forma similar, hay un impacto de la teoría de números, la teoría de grupos discretos, y las rejillas de Mentira grupos, etc.

Las generalizaciones a otras estructuras geométricas y por lo tanto para otras estructuras algebraicas o la teoría de los números todavía está activo y muy moderno, por ejemplo, infra-nilmanifolds, afín y proyectiva colectores, ver Milnor, y muchos ejemplos más.