Prueba $10^{10^{10^n}} + 10^{10^n} + 10^{n} - 1$ nunca es primo

Question

Estaba trabajando en el siguiente problema:

Prueba $10^{10^{10^n}} + 10^{10^n} + 10^{n} - 1$ nunca es primo para cualquier $n \in \mathbb{N}$

Con un poco de ayuda pude encontrar una respuesta a esto, sin embargo me hubiera sido difícil encontrarla de forma independiente. ¿Hay alguna intuición sobre cómo resolver esto, en particular cómo calcular el factor en términos de $n$ que dividirá este número.

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También me preguntaba si esto se generaliza de alguna manera interesante. En particular,

¿Para qué valores de $L \in \mathbb{N}$ es: $$ \sum_{k=0}^{L} \left ( 10^{10^{\dots \text{k times} \ ^{{10^n}}}} \right ) - 1 $$ nunca priman para ningún $n \in \mathbb{N}$ .

También perdón por la notación en esto, no estaba muy seguro de cómo representarlo mejor.

Answer 1

Una cosa que hay que hacer es pensar en un $m$ con respecto a la cual la suma es $0$ mod $m$ . Una forma de hacerlo es notar que los exponentes $10^n$ y $10^{10^n}$ será par, por lo que si $n$ es impar y $10\equiv -1$ mod $m$ (que significa $m=11$ ) entonces la suma será $1+1+(-1)-1\equiv 0$ . ¿Qué pasa si $n$ ¿está a mano?

Escriba $n=2^rk$ donde $k$ es impar. Elige $m=10^{2^r}+1$ Así que $10^{2^r}\equiv -1$ mod $m$ Por lo tanto, también $10^n\equiv-1$ mod $m$ . Dado que los exponentes $10^{10^n}$ y $10^n$ son ambos divisibles por $2^{r+1}$ podemos calcular

$$ 10^{10^{10^n}}+10^{10^n}+10^n-1 \equiv 1+1+(-1)-1\equiv 0\mod m.$$