Después de la lectura y la inspiración, Puede cada prueba por contradicción también se muestra sin contradicción? y después de pensar un poco, todavía no tengo una respuesta para esto.
Cada teorema con una verdadera prueba de tener una prueba por contradicción?
En la lógica clásica, la respuesta es sí. Tomar cualquier teorema $T$ y cualquier prueba de $P$$T$. Ahora, escriba la siguiente prueba:
Si $\neg T$:
[Escribir $P$ aquí.]
Por lo tanto $T$.
Por lo tanto una contradicción.
Por lo tanto,$\neg \neg T$, por la negación de la introducción.
Por lo tanto $T$, por doble negación eliminación.
Uno podría objetar que esta prueba es esencialmente la misma como $P$, y se acaba de terminar. Pero la verdad es que es perfectamente legítimo prueba de $T$, incluso si es más de $P$, y es de hecho la forma de una prueba por contradicción. Una pregunta natural que surge es si el menor prueba de $T$ es una prueba por contradicción. Que es una pregunta mucho más difícil de responder en general, pero hay algunos sencillos ejemplos, al menos para cualquier razonable deducción natural del sistema.
Por ejemplo, la menor prueba de "$A \to A$" para cualquier declaración de $A$ definitivamente no es una prueba por contradicción, sino más bien:
Si $A$:
$A$.
Por lo tanto,$A \to A$, por implicación introducción.
Por otro lado, la menor prueba de "$\neg ( A \land \neg A )$" para cualquier declaración de $A$ es sin duda una prueba por contradicción:
Si $A \land \neg A$:
$A$, por la conjunción de la eliminación.
$\neg A$, por la conjunción de la eliminación.
Por lo tanto una contradicción.
Por lo tanto,$\neg( A \land \neg A )$.
La primera parte de este post muestra que la más corta de la prueba por contradicción es a lo más un par de líneas más largo que el más corto de la prueba, pero no mucho más interesante que puede ser dicho acerca de la más corta de la prueba a menos que...
Bueno lo que si no permitimos el uso de la doble negación de la eliminación? Si usted tiene sólo la de otras normas del derecho común, el resultado de la lógica es intuitionistic lógica, que es estrictamente más débil que la lógica clásica, y no puede demostrar la ley de medio excluido, es decir, "$A \lor \neg A$ " para cualquier declaración de $A$. Así que si, en lugar de pedir más interesante cuestión de si cada cierto teorema puede ser comprobada en intuitionistic lógica, entonces la respuesta es no.
Tenga en cuenta que intuitionistic logic plus de la regla "$\neg A \to \bot \vdash A$" da vuelta la lógica clásica, y uno podría decir que esta regla encarna el verdadero principio de prueba por contradicción, en cuyo caso se puede decir que algunos verdaderos teoremas requieren el uso de una prueba por contradicción en algún lugar.
Me parece que el pensamiento común aquí inquietante, incluso si aparentemente ampliamente celebrada. Tal vez a otros a compartir mi punto de vista, tal vez no (y se nota, es sólo una visión intuitiva, que--como me explicó en los comentarios ... no está en línea con la noción de prueba!)
La prueba en estas supuestas pruebas por contradicción debe necesariamente basarse en el contenido de la prueba directa. Sí, tenemos a nosotros mismos como una contradicción, pero en una prueba por contradicción de lo que nos convence (es decir, lo que cuenta como la prueba) no es simplemente que tenemos una contradicción, sino que hemos de derivar una contradicción en una manera particular--de hipótesis en particular(s) - lo cual nos lleva a concluir algo acerca de estos supuestos....que no debe ser verdad.
Aquí, todo lo que hacemos es demostrar que un enunciado directamente de las premisas del argumento, y de tomar nota de que nuestra conclusión contradice la conclusión de's_negation--nos lleva a creer que la negación de la conclusión's_negation (es decir, nuestra conclusión) debe ser verdadera. Entonces nos decimos a nosotros mismos "aha! De hecho, este es el caso...como ya hemos (directamente) demostrar a la conclusión de que para ser verdad!"
No es simplemente que nuestra conclusión no necesita ser derivado a través de la contradicción (y que se puede hacer directamente y, a continuación, "envuelto" en lo que se denomina la prueba por contradicción), sino más bien que nuestra conclusión no ha sido derivados de esta manera.
Una contradicción que surgen en una prueba no necesariamente garantiza que el método de la prueba que se emplea es lo que llamamos "la prueba por contradicción." Es la derivación de esta contradicción, que garantiza el nombre de "prueba por contradicción." Es cómo la contradicción surge. Y aquí, nuestro contradicción en realidad no surgen tanto como la situación es aquella en la que estamos señalando que se derivan directamente conclusión es contraria a su negación.
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