Tengo un problema elemental de la teoría de conjuntos. No sé, cómo solucionarlo y de lo que empezar.
Cómo describir explícitamente la bijection entre el$2^\Bbb R$$\Bbb N^\Bbb R$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Usted puede construir un bijection entre el $2^{\mathbb Z}$ ${\mathbb N}^{\mathbb Z}$ por :
- Deje $(a_z)_{z\in\mathbb Z}$ un elemento de ${\mathbb N}^{\mathbb Z}$.
- Definir $b_z$ por :
- Deje $S_n=\left(\sum_{k=0}^n(a_k+1)\right)-1$ $n\ge 0$
- Deje $S_n=-\left(\sum_{k=n}^{-1}(a_k+1)\right)$ $n<0$
- Entonces para cualquier $n\in \mathbb Z$ definir $b_i=0$ si $\exists n, i=S_n$, de lo contrario $b_i=1$.
De hecho, es sólo la codificación de la secuencia de $a_z$ en unario separados por $0$s. Así, es fácil comprobar que acabamos de definir un bijection que tenemos ahora el nombre de $\Psi$. (Así que aquí $b_z=\Psi(a_z)$)
Ejemplo : $$\begin{array}{|c|c|}z&\dots&-4&-3&-2&-1&&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&\dots\\ \hline a_z&&&&2&1&&1&2&0&3&\\ \hline b_z&0&1&1&0&1&&1&0&1&1&0&0&1&1&1&0\\ \end{array}$$
Así que si usted cuente el número de $1$s entre cada una de las $0$s en $b_z$, usted encontrará $a_z$. El punto de origen fue elegido entre los $-1$$0$.
Ahora, un elemento $f$ $\mathbb N^{\mathbb R}$ es sólo una función de$\mathbb R$$\mathbb N$.
Puede ser visto también como una función de $\phi$ $[0,1)$ $\mathbb N^{\mathbb Z}$tal que $$\phi(x)= (z\mapsto f(z+x))$$ y ($x=\lfloor x\rfloor+\{x\}$) $$f(x)=\phi(\{x\})(\lfloor x\rfloor)$$
Por medio de la anterior bijection en todas las $\phi(x)$, se puede obtener el bijection desea y la función de $g$ $\mathbb R$ $\{0,1\}$por :
$$g(x)=\Psi\left(\phi(\{x\})\right)(\lfloor x\rfloor)$$
