Mostrar que $\mathbb{R}^2$ no puede ser escrito como la unión de distintos círculos topolocial

Question

Mi intento era pensar en cohomology. Pero creo que hay algún error en mi pensamiento.

Supongamos que la demanda se mantiene. A continuación,$\mathbb{R}^2 = \cup_i S^1_i$. Sabemos que $\mathbb{R}^2$ menos que un círculo tiene comology isomorfo a $\mathbb{R}$. Pero no hace ninguna diferencia el despegue de un círculo de la unión, luego de la cohomology de $\mathbb{R}^2$ no es trivial. Lo que es una contradicción.

Answer 1

Supongamos que usted tuvo como una de descomposición. Escoge un círculo $C_1$. Por Schoenflies que los límites de un disco $D_1$. Inductivamente, escoger un círculo $C_n$ $D_{n-1}$ de manera tal que el área (medir, si te gusta) del disco, $D_n$ límites es la mitad de la superficie de la zona de $D_{n-1}$.

Este es el paso clave en la prueba, por lo que debe con cuidado a ver qué podemos hacer esto. Para conveniencia notacional voy a llamar a $D=D_{n-1}$. Primera nota de que cualquier disco correctamente contenida en el interior de $D$ ha estrictamente área más pequeña (su complemento en el interior de $D$ es abierto, por lo que ha positiva de la zona). Ahora, supongamos que yo no podía encontrar un disco de arbitrariamente pequeña área delimitada por uno de nuestros círculos; a continuación, dejar que el infimum de las áreas de discos delimitada por nuestros círculos ser $t>0$. Como el anterior, podemos ver que en realidad no podemos lograr la $t$, o de lo contrario seríamos capaces de alcanzar áreas más pequeñas que al mirar en círculos en el interior del disco de área $t$. Vamos a contradecir esta demostrando que podemos representar a $t$.

Escoja una secuencia $S_n$ de los círculos con el área en la mayoría de las $t+1/n$. Pasando a un suvsequence si es necesario, e invocando el área finita de la disco me puede asumir la $S_n$ están anidados hacia abajo. Tomar la intersección de los discos que obligado. Por Cantor de la intersección teorema de esto es no vacío; elegir un punto de $x$; debido a que el círculo que contiene a $x$ debe haber sido en el disco $S_n$ límites para todos los $n$, que el círculo está contenida en el infinito de la intersección; y así es el disco que el círculo de los límites. Pero este disco debe tener el área en la mayoría de las $t+1/n$ todos los $n$, por lo tanto tienen un área en la mayoría de las $t$, como se desee.

La discusión anterior demostró, recordar, para que podamos escoger siempre un círculo de $C_n$ contenida en la anterior, de tal manera que el área del disco que límites es la mitad de la anterior. Ahora vamos a aplicar el argumento anterior de nuevo: tomar la intersección de todos los $D_n$, contiene un disco, éste ha positiva de la zona, lo cual es un disparate desde su área se encuentra en la mayoría de los $\text{Area}(D_1)/2^n$ todos los $n$. Esto contradice nuestra más crucial de la asunción: la existencia de una descomposición en círculos! Así probado lo que queríamos demostrar.

Veo que no hay forma de hacerlo utilizando cohomological argumentos. Si la demanda de que los círculos son una foliación de plano es mucho más fácil demostrar la imposibilidad.

Answer 2

Supongo que puede ser escrito como una unión de los círculos. Ahora consideremos un círculo $C^1$. deje $c_1$ denotar su centro. Entonces existe un círculo de $C^2$ contiene $c_1$. Deje $c_2$ ser el centro de la $C^2$. Entonces existe $C^3$ un círculo que contiene a $c_2$. Ahora considere la secuencia de centro de los círculos {$c_i$}. A continuación, ya que {$c_i$} es un almacén de secuencia , de manera que por Bolzano-Weierstrass propiedad de $\mathbb R^2$, tiene un convergentes sequene que convergen a $c$. Ahora debemos existe un ciclo de $C$ contatining $c$. Pero, a continuación, $C$ se cruzan $C^n$ para algunos un gran $n$( Debido a observar que el radio de la $C^{i+1}\leq 1/2$ radio de $C^i$). Contradicción.