¿Es el operador de densidad una conveniencia matemática o un aspecto "fundamental" de la mecánica cuántica?

Question

En la mecánica cuántica, se distingue entre estados mixtos y estados puros. Un ejemplo clásico de estado mixto es un haz de fotones en el que el 50% tiene el espín positivo $z$ -dirección y el 50% tiene giro en la dirección positiva $x$ -Dirección. Obsérvese que no es lo mismo que un haz de fotones, el 100% de los cuales están en el estado $$ \frac{1}{\sqrt{2}}[\lvert z,+\rangle + \lvert x,+\rangle]. $$ Sin embargo, parece que, al menos en principio, podríamos describir este haz de partículas como un único estado puro en un espacio de Hilbert "muy grande", a saber, el espacio de Hilbert que es el producto tensorial de todas las $\sim 10^{23}$ partículas (creo que ese es el orden de magnitud adecuado al menos).

Entonces, ¿es el operador de densidad una conveniencia matemática, o hay otros aspectos de la mecánica cuántica que realmente requieren que el operador de densidad sea un objeto "fundamental" de la teoría?

(Si lo que quiero decir con esto no está del todo claro, por favor, hágamelo saber en los comentarios, y haré lo posible por aclararlo).

Answer 1

Ningún sistema cuántico macroscópico se describe mediante un estado puro. Por ejemplo, nociones como temperatura o presión, que se aplican a sistemas macroscópicos, ni siquiera existen para sistemas descritos por un estado puro. La descripción de los objetos macroscópicos (discutida en la mecánica estadística) se hace siempre en términos de un operador de densidad (o la noción esencialmente equivalente de un funcional lineal positivo sobre un $C^*$ -de observables.

Sin embargo, lo que se considera fundamental depende de los fundamentos sobre los que se erige la QM. Por lo tanto, en los fundamentos estándar de los libros de texto, el operador de densidad no es fundamental. Sin embargo, los axiomas para la QM se vuelven mucho más agradables si se toma el operador de densidad como fundamental; véase el tema ''Postulados para el núcleo formal de la mecánica cuántica'' en el capítulo A1: Conceptos fundamentales de la mecánica cuántica de mi FAQ de física teórica en http://www.mat.univie.ac.at/~neum/physfaq/physics-faq.html

Además, al analizar los experimentos reales sobre los fundamentos de la mecánica cuántica, hay que representar todo estados como estados mixtos para obtener modelos correctos. Estos modelos están en la aproximación de Markov de la forma de una ecuación de Lindblad para el estado del sistema, y en el caso general de una naturaleza similar pero con términos de memoria no markovianos. Este último da la dinámica exacta. En ambos casos, la dinámica es la de un operador de densidad, nunca la de una función de onda.

El formalismo habitual de la función de onda parece ser sólo una idealización en la que se ignora el efecto del entorno (rigurosamente permitido sólo a la temperatura 0K) y se llega así a ecuaciones marginalmente más simples.

[No podemos decidir si el universo está descrito por una función de onda o por un operador de densidad, ya que tenemos muy poca información para precisarlo. Sin embargo, lo que observamos apunta a un operador de densidad, ya que una función de onda no tiene temperatura, mientras que el universo sí la tiene. En cualquier caso, cualquier subsistema propio del universo debe obtenerse trazando la parte eliminada y, por tanto, viene dado por un operador de densidad, excepto si el subsistema es tan pequeño que podemos forzarlo a ser un estado propio de un conjunto completo de observables.

Answer 2

Permítame intentar convencerle de que el operador de densidad es una conveniencia matemática y no un aspecto fundamental de la mecánica cuántica, describiendo una configuración muy general para los estados y observables tanto en la mecánica clásica como en la cuántica. Puede que esto no responda directamente a su pregunta, pero espero que resuelva lo que haya motivado esta pregunta.

Brevemente,

• Observables $A$ son un Poisson *Algebra. Esto significa un álgebra compleja $A$ equipado con una involución antilineal $a \mapsto a^{\ast}$ tal que $(ab)^{\ast} = b^{\ast} a^{\ast}$ así como un soporte de Lie $\{ -, - \} : A \otimes A \to A$ que también es una derivación con respecto a la multiplicación (y quizás alguna compatibilidad entre estas dos estructuras). Los ejemplos clásicos se dan cuando $A$ es el álgebra de las funciones suaves de valor complejo sobre un colector simpléctico $M$ la involución es la conjugación puntual, y $\{ -, - \}$ es el corchete de Poisson habitual, y los ejemplos cuánticos se dan cuando $A$ es el álgebra de operadores lineales sobre un espacio de Hilbert $H$ la involución es adyacente, y $\{ -, - \}$ es el conmutador.
• Los estados son *funcionales lineales $\mathbb{E} : A \to \mathbb{C}$ en $A$ tal que $\mathbb{E}(1) = 1$ y tal que $\mathbb{E}(a^{\ast} a) \ge 0$ para todos $a$ . Los ejemplos clásicos se dan cuando $\mathbb{E}$ es la integración contra una medida de probabilidad en una variedad simpléctica $M$ . Los ejemplos cuánticos puros se dan cuando $\mathbb{E}(a) = \langle \psi, a \psi \rangle$ para algún vector unitario $\psi$ en algún Hilbert $^{\ast}$ -representación de $A$ y se pueden obtener más ejemplos tomando combinaciones lineales o más generalmente integrales de éstas.

Escribí lo que equivale a una justificación de este formalismo en una serie algo larga de publicaciones en el blog:

http://qchu.wordpress.com/2011/07/16/the-heisenberg-picture-of-quantum-mechanics/

http://qchu.wordpress.com/2011/08/14/poisson-algebras-and-the-classical-limit/

http://qchu.wordpress.com/2012/08/18/noncommutative-probability/

http://qchu.wordpress.com/2012/09/09/finite-noncommutative-probability-the-born-rule-and-wave-function-collapse/

La estructura de Poisson sólo es necesaria para entender la evolución del tiempo; si sólo quieres entender los estados, puedes ignorar tranquilamente los dos primeros posts.

Los operadores de densidad entran en escena de la siguiente manera. $A$ a veces está dotado de un funcional lineal canónico (que puede no estar definido en todas partes); una versión normalizada del estado correspondiente (cuando existe) debe considerarse como la "distribución uniforme". Los ejemplos clásicos se dan cuando este funcional lineal viene dado por la integración contra Medida de Liouville en una variedad simpléctica $M$ y los ejemplos cuánticos ocurren cuando este funcional lineal está dado por la traza. Si $\text{tr}$ denota este funcional, entonces se puede utilizar para escribir una clase distinguida de estados de la forma

$$\mathbb{E}(a) = \text{tr}(\rho a)$$

para algunos $\rho \in A$ . Este es el operador de densidad del estado. Si $\text{tr}$ satisface una condición de no degeneración adecuada, $\rho$ puede recuperarse de forma única a partir del estado que define. Los axiomas que definen un estado requieren $\rho$ para ser autoadjunto y tener traza $1$ y también debe tener propiedades de positividad adecuadas (por ejemplo, en el caso de un álgebra matricial de dimensión finita debe tener valores propios no negativos).

Tienes toda la razón al afirmar que todo estado puede describirse mediante un vector en un espacio de Hilbert convenientemente grande (aquí utilizo "espacio de Hilbert" en el sentido de los físicos, que entiendo que es realmente un "espacio de producto interno"). Esto es un corolario de una versión de la Construcción Gelfand-Naimark-Segal que se explica en el tercer post anterior.

Sin embargo, cabe mencionar que existe una definición intrínseca de estado puro en la teoría de las álgebras de operadores: es decir, el espacio de estados tiene una estructura convexa natural y se puede definir un estado puro como un punto extremo del espacio de estados.

Así pues, resumen: lo fundamental es un funcional lineal sobre el álgebra de observables, y todo lo demás se reduce a encontrar formas convenientes de escribir y analizar dichos funcionales lineales.

Answer 3

Mi impresión de la literatura es que los físicos siguen divididos en esta cuestión. Los de la teoría de la información cuántica dicen lo segundo, pero los de la óptica cuántica dicen lo primero.

Una cuestión relacionada, pero distinta, es si se considera el concepto de "sistema abierto" como una mera conveniencia matemática o como un concepto fundamental. Esta cuestión ha recibido menos atención. Llama la atención que en el libro de texto básico de Dirac, "sistema" signifique "sistema cerrado", al igual que siempre lo hizo en la mecánica hamiltoniana: no hay otro tipo de sistema. Evidentemente, para hacer algunos cálculos prácticos en situaciones físicas en las que la disipación o la decoherencia juegan un papel, el dispositivo de un sistema abierto es conveniente. La cuestión de si es fundamental todavía no está resuelta.

Ambas cuestiones están relacionadas con la simpatía o no de cada uno por la "decoherencia" como respuesta al rompecabezas de la medición cuántica. A pesar de algunas afirmaciones en contra, la decoherencia aún no es aceptada por consenso. Véase el bien argumentado artículo de Stephen Adler que señala los graves problemas de la decoherencia cuando se toma como la solución al problema de la medición cuántica (todo el mundo está de acuerdo en que la decoherencia es a veces un recurso matemático conveniente)

Por qué la decoherencia no ha resuelto el problema de la medición: una respuesta a P. W. Anderson. Stephen L. Adler. Stud. Hist. Philos. Parte B 34 no. 1, pp. 135-142 (2003). doi:10.1016/S1355-2198(02)00086-2 , arXiv:quant-ph/0112095 .

Véase también la mía (que a veces, en un mal día, ni siquiera convence yo )

Límites termodinámicos, probabilidad no conmutativa y entrelazamiento cuántico. Joseph F. Johnson. En Actas del Tercer Simposio Internacional, Teoría Cuántica y Simetrías (Cincinnati, EEUU, 10-14 de septiembre de 2003). arXiv:quant-ph/0507017

y el excelente trabajo del gran Roger Balian y dos asistentes,

El proceso de medición cuántica en un modelo exactamente resoluble. Armen E. Allahverdyan, Roger Balian y Theo M. Nieuwenhuizen. AIP Conf. Proc. 750, pp. 26-34 (Foundations of probability and physics - 3, Vaxjo, Suecia, 7-12 de junio de 2004). doi:10.1063/1.1874554 arXiv:cond-mat/0408316

todo lo cual debe ser estudiado para decidirse sobre el tema. Balian, como toda la gente de statmech, se apoya mucho en el uso de la matriz de densidad sin indagar demasiado en su estatus fundacional. Pero como hay física realmente importante en su artículo, éste (y sus archivos comprimidos precursores publicados en http://www.chicuadro.es/ El artículo de H. Green, Nuovo Cimento 9 (1958), 880, escrito bajo la influencia de Schroedinger mientras estaba en Dublín -pero nótese que décadas más tarde, habiendo escapado de la influencia de Schroedinger, Green adoptó un punto de vista opuesto- es de importancia clave para responder a su pregunta.

Answer 4

Su pregunta es ambigua. Si está preguntando si el operador de densidad $\hat{\rho}$ es más fundamental que el vector de estado $|\Psi\rangle$ formalismo, la respuesta es sí porque el formalismo del operador de densidad se aplica a sistemas cuánticos abiertos para los que no existe ningún vector de estado. Además, en las últimas décadas se ha demostrado que existe un tipo de sistemas cuánticos aislados (LPS) para los que se rompe la equivalencia entre operadores de densidad y vectores de estado y aparece un nuevo tipo de soluciones (fuera del espacio de Hilbert) que sólo pueden describirse en términos de operadores de densidad. Algunas conferencias recientes de Solvay se han dedicado a este tipo de sistemas.

Si se pregunta si el formalismo del operador de densidad es la única manera de estudiar tales sistemas (LPS, abierto...), la respuesta es pas de porque tales sistemas pueden estudiarse utilizando alternativas al formalismo del operador de densidad: por ejemplo, en la formulación de Wigner-Moyal un sistema cuántico abierto se describe mediante una distribución de Wigner $\rho_W$ . Sin embargo, nótese que en ambos casos el formalismo de Wigner-Moyal puede describir sistemas más allá del alcance del formalismo de vectores de estado.

Answer 5

Se trata de una cuestión tan interesante como aún abierta.

@Quiaochu Yan La cuestión es que estamos utilizando un modelo matemático para entender cómo funciona el mundo. Estamos usando vectores y matrices para hacer previsión de alguna característica de la naturaleza. No se puede responder a la pregunta "¿el modelo matemático que estamos utilizando describe completamente la naturaleza o no?" quedándose en el modelo matemático. En este caso se necesitan observaciones experimentales.

Lo que los físicos intentan hacer es extender la mecánica cuántica, eliminando por ejemplo un axioma, y ver si sigue siendo una buena teoría matemática, es decir, si sigue haciendo una previsión correcta. Esto es análogo a cómo hemos probado que la mecánica clásica no es completa. Estas pruebas están en la misma tendencia para entender si una matriz de densidad es un aspecto fundamental de la mecánica cuántica o no.