Por lo $n$ $\sum_{i=1}^\infty \frac{\cos (it)}{i^n}$ delimitada y por qué no una condición sine comportan de la misma manera?

Question

He estado mirando una curva paramétrica $$\pmatrix{X \\ Y}=\pmatrix{\sum_{i=1}^N \frac{\cos (it)}{i^n} \\ \sum_{i=1}^N \frac{\sin (it)}{i^n}}$$ where, for the plots below, $N$ runs from $1 \rightarrow 300$ and $n=1,2$, respectivamente.

Parece que $X$ es ilimitado/divergentes en uno, y delimitada/convergente en el otro, mientras que $Y$ le parece indiferente a $n$ y siempre será limitada.
Yo uso el término "limitado" para encapsular que varias propiedades diferentes ($ \max (X),$ el área encerrada por $X,...$), podría ser una medida de este.

Mi pregunta: Para que $n \in \mathbb{R}$ $X,Y$ delimitada, y ¿por qué el seno siempre parecen estar acotada?

Supongo que podría tener algo que ver con este post, pero no acabo de ver cómo el argumento de que el post iba a ser utilizado para este problema, sobre todo porque de mi $t$, pero tal vez no cambia nada?

Como una nota al margen, he intentado introducir una $(-1)^{i+1}$ en las cantidades, pero todo esto hizo fue para reflejar la gráfica de alrededor de más a la izquierda de un punto de la gráfica original, por lo que el $X$ separaron a $-\infty$ lugar. Alguna idea de por qué este es el caso?

$n=1$

$n=2$

Oh, y aquí es un agradable y tambaleante versión con $(-1)^{i}$:

$n=1$

Cualquier conocimiento son muy apreciados!

Answer 1

La función que se debe mirar es el llamado Polylogarithmfunción $$ \newcommand{\Li}{\operatorname{Li}} \newcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\signo}{\operatorname{signo}} \sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k^n}=\Li_n(x)\etiqueta{1} $$ Entonces, sus funciones son $$ \sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(kt)}{k^n}=\Re\left(\Li_n\left(e^{que}\right)\right)\etiqueta{2} $$ y $$ \sum_{k=1}^\infty\frac{\sin(kt)}{k^n}=\Im\left(\Li_n\left(e^{que}\right)\right)\etiqueta{3} $$

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Para $n=1$, tenemos $$ \begin{align} \sum_{k=1}^\infty\frac{e^{ikt}}k &=-\log\left(1-e^{it}\right)\\ &=-\log(2-2\cos(t))+i\sign(t)\left(\frac\pi2-\frac{|t|}2\right)\tag{4} \end{align} $$ La parte real de la $(4)$ dice $$ \lim_{t\to0}\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(kt)}k=\infty\etiqueta{5} $$ y la parte imaginaria de $(4)$ dice $$ \lim_{t\to0}\left|\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin(kt)}k\right|=\frac\pi2\etiqueta{6} $$

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Para $n=2$, tenemos $$ \sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}=\frac{\pi^2}6\etiqueta{7} $$ Por lo tanto, por la Convergencia Dominada (que es válido para infinitas sumas utilizando una discreta medida), $$ \begin{align} \lim_{t\to0}\sum_{k=1}^\infty\frac{e^{ikt}}{k^2} &=\frac{\pi^2}6\tag{8} \end{align} $$ La parte real de la $(8)$ es $$ \lim_{t\to0}\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos(kt)}{k^2}=\frac{\pi^2}6\etiqueta{9} $$ y la parte imaginaria de $(8)$ es $$ \lim_{t\to0}\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin(kt)}{k^2}=0\etiqueta{10} $$

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El caso para cualquier real $n\gt1$ es similar a$n=2$, ya que para $n\gt1$, $$ \sum_{k=1}^\infty\frac1{k^n}=\zeta(n)\lt\infty\etiqueta{11} $$

Answer 2

Este es demasiado largo para un comentario, y un poco diferente punto de vista de la excelente respuesta por robjohn, por no saber no-funciones elementales:

Para $n>1$, la serie $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\cos(kt)}{k^n}$ $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\sin(kt)}{k^n}$ son uniformemente convergente (por Weierstrass M-prueba desde que la serie se $\sum_{k=1}^{+\infty}1/k^n$ converge para $n>1$.

Ya hemos funciones continuas convergen uniformemente sabemos que los límites son funciones continuas, y no debemos sorprendernos de que el acotamiento.

El caso de $0<n\leq 1$ es más interesante. En este caso se pueden utilizar de Dirichlet de la prueba para la convergencia.

Debido a la periodicidad, es suficiente para considerar $0\leq t<2\pi$. Desde las conocidas fórmulas (estos pueden ser comprobada mediante sumas geométricas) $$ \sum_{k=1}^N\cos(kt)=\cos\bigl((N+1)t/2\bigr)\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)} $$ y $$ \sum_{k=1}^N\sen(kt)=\sin\bigl((N +1)t/2\bigr)\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)} $$ nos encontramos con que, al menos para fijo $t$$0<t<2\pi$, $$ \Bigl|\sum_{k=1}^N\cos(kt)\Bigr|\leq\frac{1}{\sin(t/2)} $$ y $$ \Bigl|\sum_{k=1}^N\sen(kt)\Bigr|\leq\frac{1}{\sin(t/2)} $$ de manera uniforme en $N$. Por otra parte, la secuencia de $k\mapsto 1/k^n$ es claramente decreciente en $k$ y tiene un límite de $0$$k\to+\infty$. Dirichlet de la prueba se aplica, y nos encontramos con que la serie $$ \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\cos(kt)}{k^n}\quad\text{y}\quad \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\sin(kt)}{k^n} $$ convergen $0<n\leq 1$ $0<t<2\pi$ y, por lo tanto, para cada una de las $t$, las sumas parciales están acotadas.

El caso de $t=0$ permanece. Pero para $t=0$, tenemos $$ \sum_{k=1}^N\frac{\cos(kt)}{k^n}=\sum_{k=1}^N\frac{1}{k^n} $$ y $$ \sum_{k=1}^N\frac{\sin(kt)}{k^n}=\sum_{k=1}^N 0=0. $$

La primera suma tiende a $+\infty$ $N\to+\infty$ y la segunda suma claramente converge a $0$ s $N\to+\infty$.