En la relatividad general, son de luz como curvas de luz-como geodesics?

Question

Como el título. Si la curva es la luz, es decir, un valor nulo de la curva, es definitivamente una geodésica nula?

Answer 1

No.

Aquí es un simple contraejemplo debido a mi amigo Antonio Russo, un compañero de la UCLA, estudiante de posgrado. Set $c=1$ por comodidad, y considere la siguiente curva en $\mathbb R^{2,1}$ (aka tridimensional del espacio con una dimensión de tiempo $t$ y dos dimensiones del espacio $x$$y$): \begin{align} t(\lambda) = \lambda, \qquad x(\lambda) = R\cos(\alpha\lambda), \qquad y(\lambda) = R\sin(\alpha\lambda). \end{align} Esta es la trayectoria de una partícula que se mueve a lo largo de un círculo. Observe que \begin{align} \dot x^\mu \dot x_\mu = -1+(R\alpha)^2, \end{align} donde el overdot denota la derivada con respecto al $\lambda$, y estamos utilizando $(-,+,+)$ firma. Por lo tanto, esta curva es nulo si elegimos $R\alpha = 1$. No es una geodésica, sin embargo, desde geodesics en espacio plano son líneas rectas, y no es una línea recta.