En muchos tratamientos del teorema de los tres primos de Vinogradov, se considera la suma $S(\alpha) = \sum_{k \leq N}\Lambda(k)e^{2\pi i\alpha k}$ en lugar de $T(\alpha) = \sum_{p \leq N}e^{2\pi i\alpha p}$ (donde esta suma corre sobre los primos). Supongo que estas dos expresiones son más o menos iguales, pero no consigo estimar $|S(\alpha) - T(\alpha)|$ . ¿Alguien puede dar una estimación?
Respuesta
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Eric Naslund
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La razón por la que consideramos $\Lambda(n)$ en lugar de sólo la suma sobre primos es porque esta nueva suma es ligeramente más agradable de trabajar. La idea es que podemos ponderar libremente por una función suave sin que el resultado final se vea afectado significativamente.
Deberíamos esperar que $|S(\alpha,N)-\log N T(\alpha,N)|$ para ser pequeño, y se puede intentar manipularlo con la suma parcial. Sin embargo, esto no tiene sentido y, en cierto modo, es el "momento" equivocado para comparar las dos sumas.
En el teorema de Vinogradov, estamos buscando los primos que satisfacen $k_1+k_2+k_3=N$ y miramos la versión ligeramente ponderada $$\sum_{k_1+k_2+k_3=N}\Lambda(k_1)\Lambda(k_2)\Lambda(k_3).$$ Dejemos que $\chi_{\mathcal{P}}$ sea la función característica de los primos. Entonces permite que no sea difícil ver cómo lo anterior se relaciona con $$\sum_{k_1+k_2+k_3=N}\chi_{\mathcal{P}}(k_1)\chi_{\mathcal{P}}(k_2)\chi_{\mathcal{P}}(k_3),$$ al menos en cuanto al orden de magnitud. Esta conexión es más fácil de demostrar cosas, en lugar de comparar las sumas exponenciales.
