¿Cuál es la máxima puntuación posible en este mathy solitario rompecabezas?

Question

Considere la posibilidad de una baraja de 52 cartas en cuatro mathy trajes-dos en rojo: "añade" ($+$) y "subs" ($-$); y dos negros: "muls" ($\times$) y "divs" ( $\div$ ) - y trece valores numéricos --"Un" (1), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, "J" (11), "Q" (12), "K" (13).

Un juego de solitario en este deck ordena las cartas en cuatro montones de trece cartas cada uno, de acuerdo a dos familiares reglas:

• Tarjetas en una pila deben color alternativo
• (La lectura de la parte inferior de la pila) Las tarjetas deben disminuir en valor numérico, a pesar de que "K" se le permite ser colocado en la parte superior de la "A". Los valores dentro de una pila debe ser consecutivos.

Por ejemplo, este es (parte de) una válida de la pila de tarjetas:

$$[bottom] \;\; [5-] \;\; [4\times] \;\; [3+] \;\; [2\div] \;\; [A+] \;\; [K\times] \;\; [Q-] \;\; [J\times] \;\; [10+] \;\; [9\div] \;\; \cdots \;\; [top]$$

Run-of-the-mill cosas, ¿no? Así, consideramos que hemos de asignar una puntuación a cada pila de tarjetas:

• Con un valor inicial de cero, (y otra vez la lectura de la parte inferior) aplicamos la operación aritmética que representa cada tarjeta en turno. (Es decir, usted puede pensar de cada tarjeta como Notación polaca Inversa instrucciones.)
• División redondea hacia cero (por lo que todos los cálculos paso de los rendimientos de un entero)

Edit. He cambiado el ejemplo para hacer más explícito el uso de redondeo en el medio de una pila de tienda de computación, y para quitar posiblemente engañosa patrones en los trajes.

El ejemplo parcial de la pila tendrá una puntuación de $-124$:

$$(0) [5-] \rightarrow -5$$ $$(-5) [4\times] \rightarrow -20$$ $$(-20)[3+] \rightarrow -17$$ $$(-17)[2\div]\rightarrow -8.5 \rightarrow -8$$ $$(-8)[A+] \rightarrow -7$$ $$(-7) [K\times] \rightarrow -91$$ $$(-91) [Q-] \rightarrow -103$$ $$(-103) [J\times] \rightarrow -1133$$ $$(-1133) [10+] \rightarrow -1123$$ $$(-1123) [9\div] \rightarrow -124.777\dots \rightarrow -124$$

Finalmente, se calcula la puntuación del juego:

• La puntuación del juego es el valor absoluto de la suma de la pila de partituras (NO a la suma de los valores absolutos).

Pregunta: ¿Cuál es el mayor puntuación del juego?

Bastante ingenuo equipo de búsqueda me dio un valor de $915,382$. Voy a aceptar una respuesta que demuestra este (o cualquiera que sea el número mejor) es óptimo. (La prueba puede venir en forma de un amplio equipo de algoritmo de búsqueda, aunque yo preferiría algo "lógico".)

La ACTUALIZACIÓN. He llevado a cabo una nueva y (creo) un sistema integral de búsqueda, y han confirmado la $915,382$ máximo. (Tal vez-como era de esperar, la máxima arreglos-para la mayor parte, poner "$+$" y "$\times$" cartas en dos pilas, y "$-$" y "$\div$" en el resto de pilas. Puede haber algunos jugueteando con el negro de la parte inferior de las tarjetas, ya que todos ellos proporcionan el mismo resultado cuando su "operación" que se realiza en el cero.) @FelixCQ la observación de que la pila de valores iniciales vienen en pares de opuestos, el color era la clave para la construcción de una manejable estrategia de búsqueda, así que me siento inclinado a aceptar su respuesta. Sin embargo, voy a dejar la pregunta abierta por un tiempo más en caso de que alguien quiera poner en marcha un análisis que no implica la verificación de 5,67 millones de casos individuales.

Answer 1

Supongamos que todas las 52 cartas debe ser utilizado (en el contexto de Solitario, uno podría imaginar estar atascado en algún punto y, a continuación, el recuento de la puntuación actual como la puntuación total, pero vamos a considerar sólo los casos con todas las tarjetas).

Ya que las tarjetas deben ser consecutivos, y desde las chimeneas de 13 cartas de largo, el mismo valor sólo puede aparecer una vez en cada pila. Ya que sólo hay cuatro de la pila, cada valor debe aparecer exactamente una vez por cada pila.

Por tanto, tenemos cuatro pilas (que podemos llamar $+$, $-$, $\times$ y $\div$, basado en el color de la Ace en la pila, por ejemplo).

Como se ha señalado, las pilas no tienen que empezar con el mismo valor; sin embargo, los primeros valores de cada pila no son independientes:

• Dicen que el $+$ pila se inicia con el valor de $k$, luego se termina con el valor de $(k \mod 13) + 1$ con el mismo color.
• Esto significa que uno de ambos tarjeta con valor de $k$ y el color opuesto falta un predecesor, por lo que debe iniciar otra pila. Y, por supuesto, lo mismo puede decirse de los otros dos pilas.

Así que pilas' a partir de los valores de ir por dos, con colores opuestos.

El número corregido de los casos para comprobar que ahora es $$13^2 \cdot 2^{25} \approx 5,67\cdot10^{9}.$$

Esto todavía debe ser manejable por un programa de ordenador, aunque podría tomar algún tiempo. :)

Answer 2

Creo que con el redondeo hacia 0 se puede obtener $93,405,311,997$, bastante más grande que el tuyo, con $$[2-] \; [1\div] \; [13-] \; [12\div] \; \cdots \;[4-] \; [3\div] \; [2+] \; [1\times] \;[13+] \; [12\times] \; \cdots \; [4+] \; [3\times]$$

He encontrado este patrón de pensamiento que usted desea para tratar de neutralizar los efectos de los negativos y de las divisiones antes de entrar en el negocio serio de la construcción de su resultado. También desea que resta antes de la división para el número negativo a medio camino tan pequeño como sea posible, y además antes de multiplicación para obtener el resultado final tan grande como sea posible. La restricción en las tarjetas en orden numérico significa que hay 13 patrones de este tipo para comprobar, y este parece ser el mayor. Puede haber perdido algo, incluyendo lo que quieres decir con pila de partituras.