Función no medible de Lebesgue

Question

¿Podemos dar un ejemplo de una función no medible de Lebesgue, para la cual el conjunto $\{x: f(x)=C\}~\forall C\in\mathbb{R}$ sea medible? Gracias.

Answer 1

Sea $S$ un subconjunto no medible de $]0,+\infty[$. Defina $$g(x)=\begin{cases} x\text{ si } x\in S\\-x\text{ si } x\notin S\end{cases}$$

$g^{-1}(y)$ es finito $\forall y\in \mathbb{R}$, pero $\{ g\geq 0\}\setminus\ ]-\infty,0]=S$ no es medible.

Answer 2

Tome $V$ como un conjunto no medible en $[0,1]$, y considere en $[0,1]$ la función $$ f(x) := x \mathbf{1}_V(x) + (-10 -x)\mathbf{1}_{[0,1]\setminus V}(x) $$ donde $\mathbf{1}_V$ es la función indicadora de $V$, $$ \mathbf{1}_V(x) := \begin{cases} 1 & x∈ V \\ 0 & x \notin V \end{cases} $$Entonces la preimagen de cualquier $C∈ℝ$ es un singleton o vacía y por lo tanto medible.

También no es difícil usar esta idea para hacer una función no medible en $ℝ$, también satisfaciendo su criterio: $$ f(x) := e^x \mathbf{1}_V(x) + (-10 -e^x)\mathbf{1}_{ℝ \setminus V}(x)$$