Expectativa del máximo de las medias aritméticas de variables aleatorias exponenciales i.i.d.

Question

Dada la secuencia $(X_n), n=1,2,... $ de variables aleatorias exponenciales iid con parámetro $1$ define:

$$ M_n := \max \left\{ X_1, \frac{X_1+X_2}{2}, ...,\frac{X_1+\dots+X_n}{n} \right\} $$ Quiero calcular $\mathbb{E}(M_n)$ . La ejecución de una simulación me lleva a creer que $$ \mathbb{E}(M_n)=1+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2} = H_n^{(2)}.$$ ¿Es correcto? En caso afirmativo, ¿cómo podría demostrarse? He intentado utilizar la inducción y el hecho de que $M_{n+1}=\max \{M_n, \frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_{n+1}) \}$ junto con la igualdad $E(X_1|X_1+\cdots+X_{n+1})=\frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_{n+1})$ pero no consiguió nada.

Answer 1

Para cualquier $x>0$ y $n>1$ se cumple la siguiente relación (con $\mathbb P(M_1\leqslant x)=1-e^{-x}$ ):

$$ \mathbb P(M_n \leqslant x)=\mathbb P(M_{n-1} \leqslant x) - e^{-nx}\frac{x^{n-1}n^{n-2}}{(n-1)!}\tag{1} $$

En consecuencia, $\mathbb P(M_n \leqslant x) = 1 - \sum\limits_{r=1}^{n} e^{-rx} \frac{x^{r-1}r^{r-2}}{(r-1)!}$ . Por lo tanto,

$$\mathbb E[M_n]=\int\limits_{0}^{\infty} \mathbb P(M_n>x) \mathrm dx = \sum\limits_{r=1}^{n}\int\limits_{0}^{\infty}e^{-rx}\frac{x^{r-1}r^{r-2}}{(r-1)!}\mathrm dx = \sum\limits_{r=1}^{n}\frac{1}{r^2}\,.$$

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Prueba de $(1)$ :

$$ \mathbb P(M_{n-1} \leqslant x) - \mathbb P(M_n \leqslant x) = e^{-nx}\int\limits_{0}^{x}\int\limits_{0}^{2x-x_1}\ldots\int\limits_{0}^{(n-1)x-\sum_{i=1}^{n-2}x_i}\mathrm dx_{n-1} \ldots \mathrm dx_1 \\= e^{-nx}\frac{x^{n-1}n^{n-2}}{(n-1)!}\,, $$ donde la integral de volumen puede evaluarse mediante la aplicación sucesiva de Regla integral de Leibniz .

Answer 2

Una forma de calcular $EM_n$ es calcular primero $P(M_n>m)$ para $m\in \mathbb R$ utilice $EM_n=\int_0^\infty P(M_n>m)\,dm$ .

Tenga en cuenta que, para que el evento $\{M_n\le m\}$ debe ser cierto que $X_1\le m$ y $X_2\le 2m-X_1$ y $X_3\le 3m-X_2-X_1$ etc. Así,

$$P(M_n\le m) = \int_0^m\int_0^{2m-x_1}\int_0^{3m-x_1-x_2}\cdots \int_0^{nm-x_1-\dots-x_{n-1}}e^{-(x_1+x_2+\cdots x_n)}dx_n\,dx_{n-1}\,\cdots dx_1\tag{*}$$

Ahora puede utilizar esta expresión para calcular $EM_n$ . Por ejemplo,

$$P(M_2\le m) = \int_0^me^{-x_1}\int_0^{2m-x_1}e^{-x_2}\,dx_2\,dx_1=\int_0^me^{-x_1}-e^{-2m}\,dx_1=1-me^{-2m}-e^{-m}$$ Así que.., $$EM_2=\int_0^\infty P(M_2>m)\,dm=\int_0^\infty me^{-2m}+e^{-m}\,dm=\frac14+1$$ Esto parece sugerir que $EM_n=\sum_1^n \frac1{k^2}$ .

Puede ser complicado, pero tal vez deduzcas una fórmula para $P(M_n\le m)$ observando más casos pequeños, y luego demostrar que es correcta por inducción.