Puede predicados adicionales "eliminar" no estándar de los modelos de la verdadera aritmética?

Question

Para las lenguas $\mathcal{L} \subseteq \mathcal{L}',$ dice que un conjunto de oraciones $\Delta$ $\mathcal{L}'$ elimina un modelo de $M$ $\mathcal{L}$ si no importa cómo los símbolos de $\mathcal{L}' \setminus \mathcal{L}$ son interpretados en $M,$ $(M,\mathcal{L}') \not \models \Delta.$ (no sé si existe el término). E. g., para $\mathcal{L}=\mathcal{L}'=\{+,\cdot \},$ PA elimina los modelos de Q sin el total de exponenciación. Más interesante, $\text{Th}(\omega, +, \cdot)$ elimina contables no estándar de los modelos de $\text{Th}(\omega, +)$ con forma recursiva definida además por los Tennenbaum del Teorema.

Desde el operador de multiplicación hace posible eliminar algunos modelos no estándar de la aritmética de Presburger, considero que es para proporcionar "información" acerca de la estructura de $\mathbb{N}.$ Es posible eliminar algunos modelos no estándar de la verdadera aritmética a través de símbolos adicionales? Aviso sólo necesitamos considerar los predicados unarios. Así,más precisamente,

1) No $\text{Th}(\omega, +, \cdot, \mathcal{P}(\omega))$ eliminar algunos no estándar del modelo de la verdadera aritmética? Si sí, entonces

2) ¿hay alguna $S \subseteq \omega$ $\varphi$ tal que $(\omega, +, \cdot, S) \models \varphi$ $\varphi$ elimina algunos no estándar del modelo de la verdadera aritmética?

Una respuesta negativa a 1 implicaría $\{+, \cdot\}$ proporciona toda la información sobre $\mathbb{N}$ que es posible en primer orden la lógica. Una respuesta afirmativa a 2 sería muy interesante, porque entonces, si estamos trabajando en decir ZFC + V=L, no sería definible tal predicado y la sentencia, lo que significa que tendría una explícita de primer orden el hecho sobre $\mathbb{N}$ no requeridos por cierto aritmética.

Answer 1

Aquí está una mejora en (1), con un solo predicado $S,$ pero como @ElliotGlazer señalado, no es una solución de (2), puesto que no hay una sola frase $\varphi$ que elimina algunos no estándar del modelo.

Voy a dejarlo aquí, ya que es demasiado largo para un comentario de todos modos.

Tome $S$ a ser Kleene $\mathcal{O},$ una completa $\Pi^1_1$ conjunto de números enteros. Si $\langle M; +, \cdot; S\rangle$ es cualquier contables del modelo de la teoría de la $\langle \omega; +, \cdot; \mathcal{O}\rangle,$ $\langle M; +, \cdot\rangle$ no puede ser codificado por un hyperarithmetic conjunto. He aquí por qué: Vamos a $k$ ser un infinito número entero en $M.$ podemos encontrar un anormales entero $o$ $M$ que los códigos de la primera $k$ elementos de $S.$ Se sigue que $\mathcal{O}$ es Turing-irreductible a cualquier conjunto de números enteros que los códigos de $\langle M; +, \cdot\rangle$ (desde una pregunta de la forma $"\!\!x\in\mathcal{O}"$ donde $x\in\omega$ pueden ser respondidas por pedir aritmética preguntas acerca de $o$$\langle M; +, \cdot\rangle$).

Pero hay hyperarithmetic no estándar de los modelos de la verdadera aritmética; estos son eliminados al pasar de $\text{Th}\langle \omega; +, \cdot\rangle$ $\text{Th}\langle \omega; +, \cdot; \mathcal{O}\rangle.$

Answer 2

(2) ahora, aquí es una modificación de la hyperarithmetic un enfoque determinado, motivado por la casi disjuntos conjunto argumento:

Existe un árbol recursivo $T$ que tiene una infinidad de ramas, pero no hyperarithmetic infinitas ramas. (Creo que esto es debido a Kleene. He aquí una referencia: es Corolario XLI(b) en el Capítulo 16, en la Teoría de Funciones Recursivas y Eficaz de la Computabilidad, por Hartley Rogers, Jr.)

Hay una frase que $\varphi$ (en el lenguaje de la aritmética se expandió un extra de un lugar de la relación de símbolo) tal que $S$ es un infinito rama de $T$ fib $\langle \omega; +, \cdot; S\rangle \models \varphi.$

Pero ningún modelo $\langle M; +, \cdot; S\rangle$ que satisface las dos $\varphi$ y verdadero aritmética puede tener $\langle M; +, \cdot\rangle$ ser hyperarithmetic. Eso es debido a que $S,$ restringido a la norma enteros, debe ser un estándar de la rama de $T$ (desde $T$ es recursivo, cualquier norma entero pertenece a $T$ fib $M$ cree que pertenece a $T$). Como en el argumento con el $\mathcal{O},$ deje $k$ ser un infinito número entero en $M,$ y deje $o \in M$ código de la primera $k$ muchos de los elementos de $S.$, a Continuación, las preguntas de la forma $"\!\!x\in S\!"$ $x\in\omega$ puede ser decidido por pedir aritmética preguntas acerca de $o$ $\langle M; +, \cdot\rangle.$ Desde $S$ no hyperarithmetic, $\langle M; +, \cdot\rangle$ no puede ser hyperarithmetic.

Así que, aunque hay hyperarithmetic no estándar de los modelos de la verdadera aritmética, ninguno de ellos puede (cuando aumentada con un extra de un lugar de relación) de ser modelos de $\varphi.$

Añadido: La conexión con la casi disjuntos conjunto argumento es que la recolección de ramas a través de un árbol es una familia de casi conjuntos disjuntos.