encontrar el área de la parte oscura

Question

Consideremos la siguiente imagen

tenemos la siguiente información.tenemos un sector circular,el ángulo central es $90$ y en este sector se inscribe un pequeño círculo, que toca los arcos de los sectores y el radio, el radio de este pequeño círculo es igual a $\sqrt{2}$ debemos encontrar el área de la parte oscura.

mis enfoques son los siguientes, vamos a conectar el radio $\sqrt{2}$ a los puntos de intersección del círculo pequeño con el radio del sector grande, obtendremos un cuadrado de longitud $\sqrt{2}$ claramente el área de la parte oscura es el área del sector - el área del cuadrado - el área del sector pequeño (dentro del círculo pequeño) y menos también el área de la parte pequeña de abajo, que creo que representa también el sector con el ángulo central $90$ pero mi pregunta es ¿qué es el radio del sector grande? $2*\sqrt{2}$ O bien, ¿el radio de un círculo pequeño divide el radio de un sector grande en dos partes?

Answer 1

Pistas:

• Dejemos que $r = \sqrt{2}$ sea el radio pequeño.
• El radio grande es igual a la diagonal del pequeño $r^2$ cuadrado plus $r$ Es decir $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2+ \sqrt{2}$ .
• El área pequeña cerca del origen tiene el área de un cuadrado menos el área de un círculo dividido por cuatro.
• La zona oscura es lo que queda dividido por dos (la figura es simétrica).

Espero que esto ayude ;-)

Editar: Para comprobarlo: $\frac{1}{2}\Bigg(\frac{\pi R^2}{4}-\pi r^2-\Big(r^2-\frac{\pi r^2}{4}\Big)\Bigg)$ , donde $R = (\sqrt{2}+1)r$ .

Answer 2

Esqueleto:

Denotemos el radio pequeño como $r$ , gran radio como $R$ . Entonces (mirando la imagen, en diagonal) $2R = r+\sqrt{2}\cdot 2r + r = 2r+2\sqrt{2}r$ , $\:$ así que $$R=(1+\sqrt{2})r.$$

Cuadrado de figura negra: $$ S = \dfrac{1}{8} (S_{\mathrm{large}} - 4\cdot\dfrac{3}{4}S_{\mathrm{small}} - S_{\Box}) = \dfrac{1}{8}(\pi R^2 - 3\pi r^2 - 4r^2) = \dfrac{\pi\sqrt{2}-2}{4}r^2. $$

Answer 3

Dejemos que $Y$ sea la esquina superior izquierda de la imagen, y que $O$ sea la esquina inferior izquierda, el centro del cuarto de círculo.

Dejemos que $C$ sea el centro del círculo pequeño. Que la línea $OC$ conocer el gran círculo en $M$ .

Dibuja una perpendicular desde $C$ a $OY$ , reunión $OY$ en $P$ ,

Obsérvese que por el Teorema de Pitágoras, tenemos $OC=2$ . Así, $OM=2+\sqrt{2}$ . Este es el radio del gran cuarto de círculo.

Ahora lo sabemos casi todo. Nuestra región objetivo es la mitad de nuestro cuarto de círculo, menos triángulo $OCP$ , menos el sector circular del pequeño círculo $CMP$ .

El área de la mitad de nuestro cuarto de círculo se encuentra fácilmente. También lo es el área de $\triangle OCP$ .

Finalmente, $\angle PCM$ es $135^\circ$ por lo que el sector circular $CMP$ tiene un área de tres octavos del área del círculo pequeño.