Ecuación del calor en un dominio acotado

Question

Vamos $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$, $n\geq 2$, ser un almacén de dominio con el límite de $\partial \Omega \subseteq C^2,v$ exterior de la unidad vector normal en $\partial \Omega$, $h \in L^2(\Omega)$. Deje $u \in C\left( \left[ 0,\infty \right);{{L}^{2}}\left( \Omega \right) \right)\cap C^1\left( \left( 0,\infty \right);{{H}^{2}}\left( \Omega \right) \right)$ ser una solución para el problema de Dirichlet $$ \left\{ \begin{matrix} {{u}_{t}}\left( t,x \right)={{\Delta }_{x}}u\left( t,x \right),t\in \left( 0,\infty \right),\ x\in \Omega \\ u\left( t,x \right)=0,t\in \left( 0,\infty \right),\ x\in \partial \Omega \\ u\left( 0,x \right)=h\left( x \right),\ x\in \Omega \\ \end{de la matriz} \right.$$

Deje $w \in C\left( \left[ 0,\infty \right);{{L}^{2}}\left( \Omega \right) \right)\cap C^1\left( \left( 0,\infty \right);{{H}^{2}}\left( \Omega \right) \right)$ ser una solución para el problema de Neumann $$\left\{ \begin{matrix} {{w}_{t}}\left( t,x \right)={{\Delta }_{x}}w\left( t,x \right),t\in \left( 0,\infty \right),\ x\in \Omega \\ \frac{\partial w}{\partial v}\left( t,x \right)=0,t\in \left( 0,\infty \right),\ x\in \partial \Omega \\ w\left( 0,x \right)=h\left( x \right),\ x\in \Omega \\ \end{de la matriz} \right.$$ Demostrar que no están delimitadas lineal de operadores de $ {{E}_{D}}\left( t \right):{{L}^{2}}\left( \Omega \right)\a {{L}^{2}}\left( \Omega \right)$ and $ {{E}_{N}}\left( t \right):{{L}^{2}}\left( \Omega \right)\a {{L}^{2}}\left( \Omega \right)$ such that $u\left( t,\centerdot \right)={{E}_{D}}\left( t \right)h$ and $w\left( t,\centerdot \right)={{E}_{N}}\left( t \right)h,t\en \left[ 0,\infty \right)$ y encontrar sus normas. Además, muestran que no se $0\ne {{h}_{D}}\in {{L}^{2}}\left( \Omega \right)$ s $0\ne {{h}_{N}}\in {{L}^{2}}\left( \Omega \right)$ tal que ${{E}_{D}}\left( t \right)h_{D}=\left\| {{E}_{D}}\left( t \right) \right\|{{h}_{D}}$ s ${{E}_{N}}\left( t \right)h_{N}=\left\| {{E}_{N}}\left( t \right) \right\|{{h}_{N}}, \forall t\in \left[ 0,\infty \right)$. Describir los elementos de la ${{h}_{D}}$ ${{h}_{N}}$

Intento: Vamos a ${{\left\{ {{\lambda }_{n}^D} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}$ ser autovalores con sus respectivas funciones propias ${{\left\{ {{\phi }_{n}^D} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}$ ortonormales base de ${{L}^{2}}\left( \Omega \right)$, de la Dirichlet Laplaciano. Por lo tanto la solución es $u\left( t,x \right)=\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}{{{\left\langle \phi _{n}^{D},h \right\rangle }_{{{L}^{2}}\left( \Omega \right)}}{{e}^{-\lambda _{n}^{D}t}}\phi _{n}^{D}\left( x \right)}$, por lo que el ${{E}_{D}}\left( t \right)\left( f \right)=\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}{{{\left\langle \phi _{n}^{D},f \right\rangle }_{{{L}^{2}}\left( \Omega \right)}}{{e}^{-\lambda _{n}^{D}t}}\phi _{n}^{D}\left( x \right)},f\in {{L}^{2}}\left( \Omega \right)$, pero no sé cómo encontrar la norma.

Answer 1

Para la norma parte, se tiene:

$$ \langle E_D(t) f, E_D(t)f\rangle = \sum_{n\in \mathbb{N}} e^{-2\lambda_n^Dt}\langle \phi_n^D,f\rangle^2 $$

por definición. Así la norma, siendo

$$ \sup_{\|f\| = 1} \|E_D(t) f\| $$

se acaba de dar por

$$ e^{-\lambda_0^Dt} $$

donde $\lambda_0^D$ es el menor autovalor de la Dirichlet Laplaciano. Además, $h = \phi_0^D$ el correspondiente eigenfunction sería la norma-el logro de ejemplo deseada.

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Para la condición de frontera de Neumann caso, tenga en cuenta que $u \equiv c$ es una solución. Es claro que una solución que maximiza la norma para $E_N(t)$, que es determinado$h \equiv c$$E_N(t)h = h = \|E_N(t)\|h$.