%-Adics divergentes de la # de los #% de la serie y %

Question

Si nosotros ingenuamente aplique la fórmula $$\sum_0^\infty a^i = {1\over 1-a}$$ when $a=2$, we get the silly-seeming claim that $1+2+4+\ldots = -1$. Pero en los números enteros adic 2, esta fórmula es correcta.

¿Seguramente esto no es una coincidencia? ¿Cuál es la conexión aquí? ¿Hacer el $p$-adics proporciona métodos de utilidad general para sumar serie divergente? Sé muy poco sobre la serie divergente o $p$-análisis adic; ¿Qué es una buena referencia para cualquier tema?

Answer 1

Un contraejemplo puede ser interesante. Considere la secuencia

$$a_n = \frac{n!}{n! + 1}$$

En los números reales, es obvio que tenemos

$$\lim_{n \to +\infty} a_n = 1,$$

pero en todos los $p$-ádico de campo, hemos

$$\lim_{n \to +\infty} a_n = 0,$$

así que usted debe desconfiar de la idea de intentar sumar una serie de números reales mediante el trasplante a la $p$-adics.

Una cosa que usted puede considerar es $\mathbb{Q}((x))$, el campo de los racionales (formal) de la serie de Laurent. En este campo, tiene una identidad

$$\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x}.$$

No hay ningún problema de convergencia o cualquier cosa aquí; usted acaba de comprobar que multiplicando el lado izquierdo por $1-x$ da $1$.

No es un subcampo de la $\mathbb{Q}((x))$ que consta de sólo aquellos Laurent de la serie para que la sustitución de $x$ $2$ rendimientos convergente $2$-ádico suma. Evaluación en$2$, entonces se convierte en un campo de homomorphism a la $2$-ádico números. Desde $\sum_{n=0}^{+\infty} x^n$ está en que subcampo, su imagen en $\mathbb{Q}_2$ debe ser el mismo que el de la imagen de $1/(1-x)$: es decir,$-1$.

Wikipedia tiene una página en divergente la serie que habla sobre "la suma de los métodos". Usted puede encontrar este otro punto de partida útil.

Answer 2

En cuanto a referencias, Hardy escribió un libro, serie divergente, que parece estar disponible para su descarga en la web. Hay varios libros sobre la $p$-adics; Koblitz, $p$-números adic, $p$-análisis adic y funciones Zeta; Bachman, introducción a la $p$-números adic y la teoría de la valoración; Gouvea, $p$-números adic. También hay un artículo que escribí con Alf van der Poorten, algunos problemas relativos a secuencias de repetición, Amer. matemáticas. 102 mensuales (1995) 698-705, SEÑOR 97a:11029.

Answer 3

No es tanto una respuesta como referencia relacionada. Escribí una breve nota expositiva "La divergencia no es culpa de la serie," diario de Pi Mu Epsilon, 8, nº 9, 588-589, que discute esta idea y su relación con 2 complementar aritmética para computadoras.

Answer 4

Qiaochu Yuan señala que no es una casualidad: "el argumento que justifica la convergencia de la serie geométrica se aplica en cualquier campo normado completo cuando $|a|<1$, y en el adics 2 Esto es cierto cuando $a=2$." En el adics 2, la secuencia de hecho converger, y lo único a que puede converger es $1\over1-r$.