Artin tiene un teorema (10.1 en Laumon, Moret-Bailly) que, si $X$ es una pila que se ha separado, cuasi-compacto, representable en diagonal y una fppf cubierta por un esquema, entonces $X$ es algebraico. Existe una versión de este teorema que tiene para fpqc cubre?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Es falso. No estoy seguro de lo que el comentario sobre algebraica de los espacios tiene que ver con la pregunta, ya que algebraicas, espacios de hacer admitir una fpqc (incluso \'etale) cubierta por un esquema. Esto es análogo al hecho de que el fracaso de la suavidad de automorphism esquemas de puntos geométricos no es un obstáculo para ser un Artin de la pila. Por ejemplo, $B\mu_n$ es un Artin pila de más de $\mathbf{Z}$ aunque $\mu_n$ no es lisa de más de $\mathbf{Z}$ cuando $n > 1$. Sin dejarse intimidar por esto, vamos a hacer un contraejemplo usando $BG$ por un grupo afín esquema que es fpqc pero no fppf.
En primer lugar, hemos establecido el marco para el contraejemplo en algunos generalidad antes de hacer un contraejemplo. Deje de $S$ ser un esquema y $G \rightarrow$ S $S$-grupo cuyo estructurales de morfismos es afín. (Por ejemplo, si $S = {\rm{Spec}}(k)$ para un campo $k$ de $G$ es sólo un afín $k$-esquema de grupo.) Si $X$ es $G$-torsor para la fpqc topología de más de $S$-esquema de $T$, a continuación, el mapa estructural de $X \rightarrow T$ es afín (ya que se convierte así, en una cubierta de $T$ que se divide la torsor). Por lo tanto, el fibrado categoría $BG$ de $G$-torsors para la fpqc topología (en la categoría de los esquemas de más de $S$) satisface eficaz descenso por el fpqc topología, debido a la affineness requisito.
La diagonal $BG \rightarrow BG \times_S BG$ es representado por afín morfismos, ya que para cualquier par de $G$-torsors $X$ y $Y$ (para el fpqc topología) a través de una $S$-esquema de $T$, el functor ${\rm{Isom}}(X,Y)$ $T$-esquemas se representa mediante un esquema afín a más de $T$. De hecho, este functor es visiblemente un fpqc gavilla, de modo que para comprobar la afirmación de que podemos trabajar de forma local y por lo tanto reduce para el caso de que $X = Y = G_T$, que es clara.
Ahora imponer la asunción (todavía no se ha utilizado anteriormente) que $G \rightarrow$ S es fpqc. En este caso, afirmo que el mapa $S \rightarrow BG$ correspondiente a la trivial torsor es un fpqc de la cubierta. Para cualquier $S$-esquema de $T$ y $G$-torsor $X$ más de $T$ para el fpqc topología, el functor $$S \times_{BG} T = {\rm{Isom}}(G_T,X)$$ en $T$-esquemas no sólo es representado por un esquema afín a más de $T$ (es decir, $X$) pero en realidad que es un fpqc cubierta de $T$. De hecho, para comprobar esto podemos trabajar localmente más de $T$, por lo que pasar de una cubierta que se divide la torsor nos reduce al caso de la trivial $G$-torsor sobre la base de la (todavía denota $T$), para que la representación del objeto es de $G_T$.
Tan lejos y tan bien: tales ejemplos de satisfacer todas las hipótesis, y sólo tenemos que probar en algún ejemplo de que viola la conclusión, es decir, que no admite una suave cubierta por un esquema. Tomar $S = {\rm{Spec}}(k)$ para un campo $k$, y deje de $k_s/k$ ser un separables de cierre y $\Gamma = {\rm{Ga}}(k_s/k)^{\rm{opp}}$. (El "contrario" es debido a mi implícito de la convención de utilizar la izquierda torsors en el geométrica lado.) Deje de $G$ ser afín a $k$-grupo que "corresponde" a la profinite grupo $\Gamma$ (es decir, es el inverso límite de lo finito constante $k$grupos $\Gamma$ N para abrir normal $N$ en $\Gamma$). Para conseguir una manija en $G$-torsors, el punto clave es dar una descripción más concreta de los `puntos" de $BG$.
Reclamo: Si $a$ es un $k$-álgebra y $B$ es un $A$-álgebra, a continuación, dar un $G$-torsor estructura a ${\rm{Spec}}(B)$ más de ${\rm{Spec}}(A)$ es la misma para dar un derecho de $\Gamma$el $A$-álgebra $B$ es continua por la topología discreta tal que para cada subgrupo normal $N \subseteq \Gamma$ $$-subalgebra $B^N$ es un derecho de $\Gamma/N$-torsor (para el fpqc topología y, a continuación, de forma equivalente, el \'etale topología).
Prueba: el Descenso de la teoría y cálculo para el trivial torsor. QED Reclamación
Ejemplo: $A = k$, $B = k_s$, y la costumbre (derecho) acción por $\Gamma$.
Corolario: Si $a$ es estrictamente una henselian anillo local, a continuación, cada $G$-torsor más de $Una$ de la fpqc topología es trivial.
Prueba: Supongamos que ${\rm{Spec}}(B)$ ser un torsor. Por la Demanda, para cada subgrupo normal de $N$ en $\Gamma$, $B^N$ es $\Gamma/N$-torsor más de $A$. Ya que $A$ es estrictamente henselian, este último torsor es trivial por cada $N$. Es decir, no es un $\Gamma/N$-sección invariante $B^N \rightarrow$. El conjunto no vacío de estos es finito para cada $N$, así que por la teoría de conjuntos tonterías con la inversa de los límites de finito de conjuntos (en última instancia, no es tan de lujo si tomamos $k$ para la que sólo hay countably muchas subgrupos de $\Gamma$) $\Gamma$-sección invariante $B \rightarrow$. QED Corolario
Ahora supongamos que hay una suave cubierta $Y \rightarrow BG$ por un esquema. En particular, $Y$ es no vacío, de manera que podamos elegir un abrir afín a $U$ a $Y$. Yo reclamo que $U \rightarrow BG$ es también surjective. Para ver esto, elija cualquiera de los $y \en U$ y considerar el compuesto resultante mapa $${\rm{Spec}} \mathcal{S}_{Y,y}^{\rm{peces}} \rightarrow BG$$ más de $k$. Por el Corolario, esto corresponde a un trivial de $G$-torsor, por lo que los factores a través de la canónica mapa de ${\rm{Spec}}(k) \rightarrow BG$ correspondiente a la trivial $G$-torsor. Este último mapa se surjective, por lo que la afirmación de la siguiente manera. Por lo tanto, podemos sustituir $Y$ con $U$ a organizar que $Y$ es afín. (A todos nos ha demostrado es que $BG$ es un cuasi-compacto de Artin de la pila, si es un Artin de pila a todos, no sorprende en vista de la (fpqc!) cubrir por ${\rm{Spec}}(k)$.)
OK, así que con una suave cubierta $Y \rightarrow BG$ por un esquema afín, el producto de fibra $$Y' = {\rm{Spec}}(k) \times_{BG}$Y$ (utilizando el canónica que cubre el mapa para el primer factor) es un esquema afín, ya vimos que $BG$ ha afín diagonal. Deje que $A$ y $B$ ser las respectivas coordenadas anillos de $Y$ y $N$, así que al afirmar que existe una natural $\Gamma$-acción en $B$ más $De$ tal que $$-subalgebras $B^N$ para abrir normal subgrupos $N \subseteq \Gamma$ escape $B$ y cada $B^N$ es $\Gamma/N$-torsor más de $A$. Pero $Y' \rightarrow {\rm{Spec}}(k)$ es suave, y, en particular, localmente finitos tipo, por lo que $B$ es finitely generado como $k$-álgebra. Desde el $B^N$'s $k$-subalgebras de $B$ que se agote, llegamos a la conclusión de que $B = B^N$ lo suficientemente pequeños como $N$. Esto obliga a que tales $N$ a es igual a $\Gamma$, es decir $\Gamma$ es finito.
Por lo tanto, cualquier $k$, con infinita Galois grupo que hace el trabajo. (En otras palabras, si $k$ es ni separadamente cerrado ni real cerrada, $BG$ es un contraejemplo.)
