Relación entre dos integrales

Question

Yo estoy revisando para una intro de cálculo examen, y el siguiente problema aparece en un pasado en el examen final:

Si: $$\int^3_1 \frac{1}{x^4\sqrt{1+x}}\, dx = k$$

Qué es: $$\int^3_1 \frac{1}{x^5\sqrt{1+x}}\, dx $$ (I'm assuming the answer will be in terms of $k$)

Parece que la mayoría de los básicos de las técnicas de integración(sustitución, integración por partes, trig sub, etc.) no permita que la solución de la integral, y no estoy seguro de qué otra manera de abordar este problema a mi nivel. Me he encontrado esto por tanto mis profesores, y que no puede encontrar una solución en un plazo razonable de tiempo. Estoy curioso porque parece que no sería una solución simple o regla soy ignorante de (teniendo en cuenta que esta es una introducción a calc examen), pero estoy perplejo. A donde voy mal? Gracias!

Answer 1

Deje $I_4$ ser la integral dada (es decir, k) y deje $I_5$ ser integral desea. Sólo estoy ampliando Zach Stone comentario, de modo que el crédito debido a él, uno puede intgrate por partes y escribir

$$I_4 = \int^3_1 \frac{1}{x^4}\frac{1}{\sqrt{1+x}}\, dx $ $ , que le dará $$I_4 = \left. \frac{2\sqrt{1+x}}{x^4}\right|_1^3 + \int^3_1 \frac{8\sqrt{1+x}}{x^5}dx$$

El truco ahora es multiplicar y dividir el segundo término dentro de la integral por $\sqrt{1+x}$. La ecuación, entonces fácilmente se simplifica a

$$I_4 = \frac{4}{81} - 2\sqrt{2} +8I_4 +8I_5$$ which gives the required relation between $I_4$ and $I_5$. He comprobado que está de acuerdo con Brian Tung cálculos de Wolfram.

Así que, en resumen, sí, esto fue posible mediante simple de integración por partes. Una vez más, el crédito a Zach Stone

Answer 2

Raro. WolframAlpha da

$$ k = \frac{351\sqrt{2}-226+405\tanh^{-1}2-405\tanh^{-1}\sqrt{2}}{648} \doteq 0.20972 $$

y la otra integral tiene un valor

$$ \frac{1550-1161\sqrt{2}+2835\tanh^{-1}2-2835\tanh^{-1}\sqrt{2}}{5184} \doteq 0.16387 $$

No hay una evidente relación exacta que puedo ver entre aquellos. Es bastante claro que la segunda integral debe ser menor que el primero, y estoy seguro de que podría obtener algunos de los más estrictos límites que eso, pero no sé cómo iba a obtener una expresión exacta en términos sólo de $k$.

Answer 3

Agregar a la respuesta de Brian Tung sea $I_{4}$ integral con $x$ $4^{th}$ energía y $I_{5}$ ser la integral en cuestión. Se puede determinar que % $ $$I_{5} = - \frac{7 \, k}{8} + \frac{1}{96} \, \left[ 116 - 67 \, \sqrt{2} - 210 \, \tanh^{-1}(2) \right].$debe ser observado que $\tanh^{-1}(2)$ y $\tanh^{-1}(\sqrt{2})$ son complejas en la naturaleza.

Answer 4

Creo que esta es sólo una rotonda versión de Zach de la solución, pero yo también creo que puede ser la solución deseada teniendo en cuenta lo bien los límites de trabajo, así que pensé que valía la pena compartir.

Sustituyendo $u=\sqrt{1+x}$, convierte a estos integrales en

$$2\int_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{(u^2-1)^4}\, du=k\quad\text{and}\quad2\int_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{(u^2-1)^5}\, du=I.$$

Queremos encontrar una relación entre el$I$$k$.

Ahora, vamos a $u=\sec\theta$ en la de cada integrante, por lo $du=\sec\theta\tan\theta$, y tenemos

$$k=2\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \cot^8\theta\sec\theta\tan\theta\, d\theta\quad\text{and}\quad I=2\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \cot^{10}\theta\sec\theta\tan\theta\, d\theta.$$

Ahora, integrar por partes, con $u=\cot^{8}\theta$, lo $du=-8\cot^7\theta\csc^2\theta$$dv=\sec\theta\tan\theta$, lo $v=\sec\theta$. Entonces la integral es

$$2\left[\sec\theta\cot^8\theta\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}+16\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\cot^7\theta\csc^2\theta\sec\theta\, d\theta=\frac{4}{81}-2\sqrt{2}+16\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\cot^7\theta\sec\theta(1+\cot^2\theta)\, d\theta.$$

Centrándose en la integral, que podemos dividir en

$$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\cot^7\sec\theta\, d\theta+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\cot^9\theta\sec\theta\,d\theta=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\cot^8\theta\sec\theta\tan\theta\,d\theta+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\cot^{10}\theta\sec\theta\tan\theta.$$

Pero esto es sólo $I+k$, por lo que tenemos

$$k=\frac{2}{81}-\sqrt{2}+8I+8k\implies I=\frac{1}{8}\left(2\sqrt{2}-\frac{4}{81}-7k\right).$$