La compactación Stone-Cech de dos puntos de un espacio incontable

Question

He mirado bastantes preguntas en la web y no he encontrado esto, pero disculpas si ya está aquí.

Me preguntaba si alguien sabe si existe un espacio incontable y alguna compactación Stone-Cech que sume exactamente dos elementos , es decir $ \lvert \beta X \setminus X \lvert = 2$ .

He pensado en empezar quizás con $ \Omega_0 = [0, \omega_1) $ y una especie de compactación iterativa, si tiene sentido. Primero añadiendo $ \omega_1$ al espacio que creo que nos da una compactación de un punto que es la misma que la compactación Stone-Cech y luego tratar de hacer lo mismo con el espacio que resulta de eso ( es decir $\Omega$ ). El problema es que si aplicamos el mismo proceso de compactación de un punto creo que desde $ \Omega$ ya es compacta terminaremos con un espacio que tiene un punto aislado. Descartando así que la compactación sea Stone-Cech .

Tal vez este espacio no sea el adecuado para intentar trabajar. Si alguien conoce un ejemplo que funcione o tiene alguna idea que se agradecería, ¡gracias!

Answer 1

Tal vez un ejemplo decepcionantemente aburrido: tome $X = [0, \omega_1) \times \{0,1\}$ con la topología del producto, es decir, la suma disjunta de dos copias de $[0, \omega_1)$ . Dando por hecho que la compactación Stone-Cech (SCc) de $[0, \omega_1)$ est $[0, \omega_1]$ , reclamo la SCc de $X$ est $Y = [0, \omega_1] \times \{0,1\}$ . Claramente $|Y \setminus X| =2$ .

Para comprobar los detalles, observamos que $Y$ es Hausdorff compacto, y demostrar que $Y$ tiene la propiedad universal adecuada. Supongamos, pues, que $K$ es un espacio Hausdorff compacto y $f : X \to K$ es continua. Debemos demostrar $f$ tiene una extensión continua única $f' : Y \to K$ . La singularidad es evidente porque $X$ es denso en $Y$ . Para la existencia, dejemos $f_0, f_1 : [0, \omega_1) \to K$ se define por $f_i(\alpha) = f(\alpha, i)$ Estas funciones son continuas. Así que hay extensiones continuas únicas $f_i' : [0,\omega_1] \to K$ . Establecer $f'(\alpha,i) = f_i'(\alpha)$ . Entonces $f'$ es continua por el lema de pegado, y para $(\alpha,i) \in X$ tenemos $f'(\alpha, i) = f_i'(\alpha) = f_i(\alpha) = f(\alpha_i)$ Así que $f'$ extiende $f$ .

Del mismo modo, para cualquier número finito $n$ se puede tomar $X = [0, \omega_1) \times n$ y obtener un espacio con $|\beta X \setminus X| = n$ . (Como $[0,\omega_1] \times D$ no es compacto para un espacio discreto infinito $D$ no se puede reemplazar $n$ con un cardinal infinito y esperar que funcione lo mismo).

Answer 2

Hay una topología de orden que satisface esto. Basta con poner dos copias de $[0,\omega_1)$ espalda con espalda (por lo que el espacio se vería como $(\omega_1,\omega_1)$ . Formalmente, dejemos que $X=2\times \omega_1$ y poner el ordenamiento lexicográfico en X con el ordenamiento habitual invertido en el primer factor. Así que $(i,x)<(j,y)$ en $X$ si $i=0$ y $j=1$ o si $i=j=0$ y $x>y$ o si $i=j=1$ y $x<y$ . Dotar $X$ con la topología de orden inducida por esta ordenación. Una función continua sobre X es eventualmente constante hacia ambos extremos, por lo que se extiende a $[-\omega_1,\omega_1]$ el espacio obtenido al añadir el primer elemento $\{-\omega_1\}$ y el último elemento $\{\omega_1\}$ a $X$ que es una compactación de $X$ . Así, $\beta X=[-\omega_1,\omega_1]$ et $|\beta X\setminus X|=2$ .