Estoy usando Do Carmo de la Geometría de Riemann, y luchando para resolver un problema.
El problema es:
Muestran que la asignación de $G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^4$ dada por
$$G(x,y)=((r\cos y+a)\cos x,(r\cos y+a)\sin x,r\sin y\cos\frac{x}{2},r\sin y\sin\frac{x}{2}))$$
induce una incrustación de la botella de Klein en $\mathbb{R}^4$.
Sé que la botella de Klein se define como un cociente de colector $T^2/G$ donde $T^2$ es el 2-toro, $G$ es un grupo de diffeomorphisms de $T^2$ formado por $\{A,Id\}$, e $A$ es el antipodal mapa, es decir,$A(p)=-p$.
Además, sé que $T^2=S^1\times S^1$ donde $S^1$ es el círculo unitario.
También, me encontré con que $G$ es inyectiva.
Sin embargo, no tengo ni idea acerca de cómo atacar este problema. He intentado buscar en google, pero no encontré nada.
Cualquier ayuda será apreciada.
Gracias!
