Cómo puedo probar que $K[[X]]$ no es finitely generado más de $K[X]$ como un módulo, donde $K$ es un campo.
Lo que he intentado: si el de arriba no es cierto, a continuación, $K[[X]]$ es parte integrante de la extensión de más de $K[X]$. Pero no pude sacar ninguna contradicción.
Me ayudan. Gracias
La inclusión de los anillos de $j:K[X] \hookrightarrow K[[X]]$ induce un mapa de $j^\ast: \operatorname {Spec}(K[[X]])\to \operatorname {Spec}(K[X])$ entre los conjuntos correspondientes de primer ideales de estos anillos.
Si $K[[X]]$ fueron módulo-finito (o integral)$K[X]$, el mapa de $j^\ast: \operatorname {Spec}(K[[X]])\to \operatorname {Spec}(K[X])$ sería surjective: Atiyah-Macdonald, Teorema 5.10 .
Pero esto es imposible, ya que $K[[X]]$ (como todos los discreta valoración de los anillos) tiene sólo dos prime ideales, mientras que $K[X]$ tiene infinitamente muchos (por una variación de Euclides prueba de la infinitud del primer enteros).
En $K[[X]]$, el elemento $f=\sum_{i=0}^\infty X^i$ es una inversa de a $1-X$. Desde $K[X]$ es integralmente cerrado (incluso un PID), $(1-X)^{-1}$ no puede ser parte integral de la $K[X]$. Por lo tanto, $K[X][f] \subseteq K[[X]]$ no es una f.g submódulo. Desde $K[X]$ es Noetherian (por Hilbert Teorema de la Base), podemos concluir que $K[[X]]$ no puede ser finitely generado.
Inspirado por el recuento sugerido por Hagen, aquí es una prueba de que la muestra $K[[X]]$ no es ni finito de tipo más de $K[X]$.
En primer lugar, tenga en cuenta que esto es al $K$ es en la mayoría de los contables, pues en este caso, $K[X]$ es contable, mientras que $K[[X]]$ es incontable, y cualquier anillo finito de tipo más de un contable anillo es todavía contables.
Ahora el caso general. Supongamos $K[[X]]=K[X,f_1,\dots,f_n]$. Deje $k$ a ser el campo generado por el primer campo de $K$ (es decir, $\mathbb Q$ o $\mathbb F_p$) y el (countably muchos) los coeficientes de $f_i$. A continuación, $k$ es contable, por lo que es $\bar k$. Por el argumento anterior, $\bar k[[X]]$ no es finito tipo más de $\bar k[X]$, por lo que no es $g\in\bar k[[X]]$ tal que $g\notin\bar k[X,f_1,\dots,f_n]$. Esto significa que, para cualquier $N\in\mathbb N$, la ecuación
$$ g=\sum_{|\alpha|\le N} p_\alpha f_1^{\alpha_1}\cdots f_n^{\alpha_n} \tag{*}$$
no tiene solución,$p_{\alpha}\in\bar k[X]$. Esto puede ser pensado como un sistema de ecuaciones polinómicas en el (un número finito de coeficientes de $p_\alpha$. Ya que no tiene la solución a través de la algebraicas campo cerrado $\bar k$, por Hilbert Nullstellensatz, el ideal generado por el sistema de ecuaciones contiene $1$, y por lo tanto el sistema no tiene solución en el mayor campo de $K$. Esto implica que (*) no es válido, ya sea en $K$. Como esto es cierto para cualquier $N\in\mathbb N$, $g\notin K[X,f_1,\dots,f_n]$.
Un enfoque alternativo que muestra que $K[[X]]$ no es un finitely generadas $K$-álgebra, y por lo tanto ni siquiera un finitely generadas $K[X]$-álgebra.
Si un finitely generado álgebra sobre un campo es un anillo local, entonces es artinian.
Supongamos que $K[X_1,\dots,X_n]/I$ es un anillo local, por algún ideal $I$. A continuación, $I$ está contenida en un único ideal maximal, decir $M$, lo $\sqrt I=M$ (desde un polinomio anillo sobre un campo es un Jacobson anillo). En particular, $\dim K[X_1,\dots,X_n]/I=0$, y por lo tanto $K[X_1,\dots,X_n]/I$ es un artinian anillo local.
Los elementos $1,\frac {1}{1-X},\frac {1}{(1-X)^2},\frac {1}{(1-X)^3},\cdots \in K[[X]]$ son linealmente independientes sobre $K[X]$, ya que para $P_i(X)\in K[X], P_r(X)\neq0$ formal de la serie de $\sum_{i=0}^r \frac {P_i(X)}{(1-X)^i}$ (visto como una función racional) tiene un polo de orden $r$ y es por tanto distinto de cero.
Por lo tanto $K[[X]]$ no es finitely generado más de $K[X]$.
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