Si $n\in\mathbb N$ $4^n+2^n+1$ es primo, demostrar que existe una $m\in\mathbb N\cup\{0\}$ tal que $n=3^m$.

Question

Si $n\in\mathbb N$ $4^n+2^n+1$ es primo, demostrar que existe una $m\in\mathbb N\cup\{0\}$ tal que $n=3^m$.

I. e. si $4^n+2^n+1$ es primo, demostrar que $n=3^m$ donde $m\in\mathbb N\cup\{0\}$.

No sé cómo podría solucionar esto, no tengo ninguna idea. Sé que $4^n+2^n+1$ es obviamente impar. Suponga $m=0$, es decir,$n=1$. A continuación, $3$ es primo. Así que no es de refutar lo que estamos tratando de mostrar.

Así que supongamos $m>0$. A continuación,$4^n+2^n+1>3$, lo $4^n+2^n+1$ es $3k+1$ o $3k+2$ donde $k\in\mathbb N$. Así que o $4^n+2^n$ o $4^n+2^n-1$ es divisible por 3. Creo que no es algo que pueda ayudar a resolver esto. Sólo una pequeña observación. No tengo ninguna idea.

Answer 1

Si $n$ no $3^m$, $n=3^mr$ para algunos entero $r$, $r\gt1$, $\gcd(r,3)=1$.

$$(2^n-1)(4^n+2^n+1)=2^{3n}-1=2^{3^{m+1}r}-1=(2^{3^{m+1}}-1)q$$ for some integer $q\gt1$. Now $$\gcd(2^a-1,2^b-1)=2^c-1$$ where $c=\gcd(a,b)$, so $$\gcd(2^n-1,2^{3^{m+1}}-1)=2^{3^m}-1$$ Hence, $$\gcd(2^{3^{m+1}}-1,4^n+2^n+1)\gt1$$ But $2^{3^{m+1}}-1\lt4^n+2^n+1$, so $$\gcd(2^{3^{m+1}}-1,4^n+2^n+1)\lt4^n+2^n+1$$ Therefore, $4^n+2^n+1$ no puede ser primo.