Cómo resolver la ecuación $ \frac{1}{2} (\sqrt{x^2-16} + \sqrt{x^2-9}) = 1$ ?

Question

$$ \dfrac{1}{2} (\sqrt{x^2-16} + \sqrt{x^2-9}) = 1$$

¿Cómo puedo resolver esta ecuación de la manera más fácil?

Answer 1

Puedes resolverlo algebraicamente aislando una de las raíces cuadradas, elevando al cuadrado ambos lados, resolviendo la otra raíz cuadrada y elevando al cuadrado ambos lados de nuevo. Esto te dará una ecuación cuadrática en $x^2$ .

Pero también se puede argumentar de forma más inteligente directamente desde la función. En primer lugar, observe que el LHS es indefinido para $|x|<4$ . Para $|x|\geq 4$ , $$\frac{\sqrt{x^2-16}+\sqrt{x^2-9}}{2} \geq \frac{\sqrt{x^2-9}}{2}\geq \frac{\sqrt{7}}{2} > 1,$$ por lo que su ecuación no tiene soluciones (reales).

Answer 2

Multiplicar por $2$ para obtener $$\tag1\sqrt{x^2-16}+\sqrt{x^2-9}=2$$ y multiplicar por el conjugado $\sqrt{x^2-16}-\sqrt{x^2-9}$ para obtener $$\tag2 -\frac72=\frac12((x^2-16)-(x^2-9))=\sqrt{x^2-16}-\sqrt{x^2-9}.$$ Añadir $(1)$ y $(2)$ y dividir por $2$ para obtener $$\sqrt {x^2-16}=-\frac34$$ Que no tiene una solución real.

Answer 3

Tenemos la ecuación $$ \frac{1}{2}(\sqrt{x^2-16} + \sqrt{x^2-9}) = 1 $$ Multipliquemos por $\sqrt{x^2-16} - \sqrt{x^2-9}$ para conseguir $$ -\frac{7}{2}=\sqrt{x^2-16} - \sqrt{x^2-9} $$ Por lo tanto, $$ 2\sqrt{x^2-16} = (\sqrt{x^2-16} + \sqrt{x^2-9}) + (\sqrt{x^2-16} - \sqrt{x^2-9})=2-\frac{7}{2}<0 $$ Esto es imposible, así que no hay una solución real para esta ecuación

Answer 4

Eleva al cuadrado ambos lados, aísla la raíz cuadrada y eleva al cuadrado de nuevo.

No olvides verificar los resultados ;)