¿Para qué secuencias de números reales $\left\{ k_{n}\right\}$ es el conjunto de funciones $\left\{ e^{ik_{n}x}\right\}$ ¿una base?

Question

Es bien sabido que el conjunto de funciones $\left\{ e^{^{inx}}\right\}$ para números enteros $n$ es una base otonormal para el espacio de funciones reales cuadradas integrables en el intervalo $[-\pi,\pi]$ .

Ahora dejemos que $\left\{ k_{n}\right\}$ sea una sucesión de números reales y consideremos el conjunto de funciones $\left\{ e^{ik_{n}x}\right\}$ . Para qué secuencias $\left\{ k_{n}\right\}$ hacer las funciones $\left\{ e^{ik_{n}x}\right\}$ forman una base (no necesariamente ortonormal) para el espacio de funciones reales cuadradas integrables en algún intervalo (no necesariamente $[-\pi,\pi]$ )?

Gracias.

Answer 1

La pregunta se refería originalmente a intervalos infinitos, pero las funciones $e^{ikx}$ no son integrables al cuadrado en intervalos infinitos, por lo que no pueden formar una base para $\mathcal L ^2(\mathbb R)$ . El objeto análogo para intervalos infinitos es el Transformada de Fourier .

Para intervalos finitos, la frase clave que hay que buscar es series no armónicas de fourier . Hay libros enteros dedicados exclusivamente a este tema, pero se puede empezar por el trabajo de 1952 de Duffin & Schaefer. En él introducen la noción de marco que puede ser más fácil de trabajar que una base.

Otro tema para buscar es muestreo no uniforme . Invirtiendo los papeles del dominio del tiempo y del dominio de la frecuencia, se puede demostrar que tu pregunta es equivalente a "¿Qué conjuntos de muestras son suficientes para reconstruir una función de banda limitada?". A partir de una artículo sobre muestreo no uniforme de Aldroubi y Gröchenig :

El teorema de Kadec establece que si $X = \{x_k ∈ \mathbb R : |x_k−k| \le L < 1/4\}$ para todos $k \in \mathbb Z$ entonces el conjunto $\{e^{ i 2 \pi x_k \xi}: k \in \mathbb Z\}$ es una base de Riesz de $\mathcal L^2(−1/2, 1/2)$ .

(El artículo original de Kadec está en ruso.) Conversión a su notación: la colección $\{e^{ i k_n x}: n \in \mathbb Z\}$ es una base de Riesz de $\mathcal L^2(−\pi, \pi)$ si para todo $n \in \mathbb Z$ , $|k_n-n|\le L <1/4$ . En otras palabras, si perturbas ligeramente las frecuencias a partir de los números enteros, sigues obteniendo una base. No es una condición necesaria, pero si te interesan condiciones más generales, consulta la bibliografía.

Answer 2

Por cada $k\in\mathbb R$ , dejemos que $e_k:x\mapsto \mathrm e^{\mathrm ikx}$ . Sea $C=\{e_k;k\in\mathbb R\}$ . Fijar un positivo $T$ y considerar el espacio $E$ de cuadrados integrables $T$ -funciones periódicas. Sea $K=2\pi\mathbb Z/T$ y $B=\{e_k;k\in K\}$ .

Sabemos que $B$ es una base de $E$ . Si $k\notin K$ , $e_k$ no es $T$ -periódica por tanto $e_k\notin E$ . Así pues, una base de $E$ no puede contener funciones en $C\setminus B$ . Si $k\in K$ , $e_k$ no está en el espacio vectorial abarcado por $B\setminus\{e_k\}$ porque $B$ es gratis. Por último, la única base de $E$ incluido en $C$ es $B$ .

Answer 3

Una generalización de las series de Fourier procede de Teoría de Sturm Liouville . Esto surge de forma natural en el estudio de las EDP. Por ejemplo, consideremos una ecuación de onda 1-D en un intervalo finito: $$ \begin{eqnarray} u_{tt}(x,t) &=& u_{xx}(x,t) \\ \forall t, \ \alpha_1 u(a,t) + \alpha_2 u_x(a,t)=0 & \quad \quad & \forall t, \ \beta_1 u(b,t) + \beta_2 u_x(b,t) = 0\\ \forall x \in [a,b], \ u(x,0) = f(x) & \quad \quad & \forall x \in [a,b], \ u_t(x,0) = g(x) \end{eqnarray} $$ Una forma de resolverlo es buscar una solución de la forma $u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty w_n(t) \phi_n(x)$ donde $\phi_n(x)$ son los modos propios del sistema . Si tuviéramos condiciones de contorno periódicas, éstas serían las funciones de base de Fourier estándar. Es importante que los modos propios formen una base de modo que las condiciones iniciales puedan satisfacerse para todos los modos propios. $f,g \in \mathcal L^2 (a,b)$ .

Para encontrar los modos propios, se resuelven las soluciones no triviales de $y''=-\lambda y$ con las condiciones de contorno $\alpha_1 y(a)+ \alpha_2 y'(a)=0$ y $\beta_1 y(b)+ \beta_2 y'(b)=0$ . Estas soluciones son: $\mathcal B = \{c_n e^{i \sqrt{\lambda_n} x} + d_ne^{-i \sqrt{\lambda_n} x}\}_{n=1}^\infty$ , donde donde $\lambda_n$ son las soluciones positivas de

$$ \tan((b-a)\sqrt{\lambda_n})=\frac{\sqrt{\lambda_n}(\alpha_1 \beta_2+\alpha_2 \beta_1)}{\lambda_n \alpha_2 \beta_2-\alpha_1 \beta_1}. $$

Para condiciones de contorno generales no existe una solución de forma cerrada para $\lambda_n$ aparte de la definición implícita anterior. (Existen fórmulas para $c_n$ y $d_n$ pero los omito). Entonces, por el teorema de Sturm Liouville, el conjunto $\mathcal B$ es una base ortonormal para $\mathcal{L}^2(a,b)$ .

En el caso básico, $\alpha_1=\beta_1=1,$ $\ \alpha_2=\beta_2=0$ obtenemos $\lambda_n = (n\pi/(b-a))^2$ y la base ortonormal $\left\{ \sin\left(n \pi\frac{x-a}{b-a}\right)\right\}_{n=1}^\infty$ . Para la ecuación de onda, esto corresponde a los modos propios cuando los extremos se mantienen en $0$ .

Es cierto que no es lo mismo que la colección $\mathcal{\tilde{B}}=\{e^{\pm i \sqrt{\lambda_n}x}\}_{n=1}^\infty$ ser una base, pero muestra que $\mathcal{\tilde{B}}$ abarca $\mathcal{L}^2(a,b)$ .