Nunca he entendido completamente la conexión entre las superficies de Riemann y variedades algebraicas. Estoy particularmente interesado en el caso de que el sistema modular de la curva de nivel N ... sé cómo la superficie de Riemann se construye mediante la adopción de un cociente de la mitad superior del plano-por la acción de la congruencia de los subgrupos de la modulares grupo, pero no como la del colector se traduce en una curva. Por lo que he leído, parece que la asociada a la curva definida por las ecuaciones satisfecho por las funciones definidas en el colector, pero no entiendo qué funciones están involucrados en estas ecuaciones. ¿Cuál es exactamente la relación entre los dos tipos de objetos?
Respuestas
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Como Akhil escribe en su comentario, a ver que algún dado superficie de Riemann es una curva algebraica, usted necesita generalmente de Riemann-Roch. Un ejemplo prototípico de su uso es el habitual de la prueba de la existencia de una ecuación de Weierstrass para una curvas elípticas (ver, por ejemplo, Silverman).
Pero para modular las curvas, las cosas son más simples. Es fácil ver que un modular de la curva es una cubierta de $\Gamma(1)\backslash \mathbb{H}^*$. Ahora, el último es el más simple superficie de Riemann no es, la esfera de Riemann, y que es claramente una curva algebraica. Hay un montón de maneras de ver que $\Gamma(1)\backslash \mathbb{H}^*$ es la esfera de Riemann, algunos de los cuales están dibujadas en Milne notas, la Proposición 2.21. Explícito de isomorfismo de $\Gamma(1)\backslash \mathbb{H}$ $\mathbb{C}$ es proporcionado por el $j$-función.
Ahora puede usar la cubierta para obtener una ecuación para una construcción modular de la curva. Para los detalles de este cálculo para el caso de $\Gamma_0(N)$, ver Milne las notas del Teorema 6.1. Este no necesita de Riemann-Roch, y solo se basa en cálculos explícitos con la $j$-función.
Una más potente enfoque modular curvas, que también le dará más información acerca de los campos de definición, es mediante la interpretación de las curvas modulares son módulos de variedades. Milne también bocetos de algunos de esto en la sección 8, y mucho más se puede encontrar en sus notas sobre el Shimura variedades.
Kerry
Puntos
1186
Creo que se puede comprobar Hartshrone la sección de Riemann-Roch. Hay algunos debates pertinentes en el siglo 19 a trabajar en esto (sin el uso de la fantasía maquinaria que aparecen en comentarios anteriores). De hecho, hoy en día estamos tan acostumbrados a las modernas lenguaje matemático que olvidamos a menudo las raíces que inspira a tantos maestros en el pasado.
