Innumerables familia de innumerables compacto de subconjuntos de a $\mathbb{R}$

Question

No existe un sinnúmero de familia $\mathcal{A}$ compuesto de multitud de subconjuntos compactos de $\mathbb{R}$ y disjuntos a pares?

Answer 1

Deje $C$ ser cualquier conjunto de Cantor en la línea. $C \times C$ es de nuevo un conjunto de Cantor, así que vamos a $h:C \times C \cong C$ ser un homeomorphism. Para cada una de las $x \in C$ deje $C_x = \{x\} \times C$; claramente cada una de las $C_x$ es otro conjunto de Cantor, y $\{h[C_x]:x \in C\}$ es una partición de a $C$ a $2^\omega$ conjuntos de Cantor.

Answer 2

Deje $K$ el conjunto de reales en $[0,1]$ sólo con $0$s y $1$s en sus expansiones decimales. Para cada una de las $x \in K \setminus\{1\}$ el conjunto $2x + K$ es compacto, y de esta familia es de a pares distintos (desde $x$ es recuperable a partir de cualquier elemento de $2x + K$).

Editar para hacer que la última afirmación más explícita: supongamos $y \in (2x_0 + K) \cap (2x_1 + K)$. El $n$th dígitos de la expansión decimal de $y$ al menos $2$ fib el $n$th dígitos de la expansión decimal de $x_0$ $1$ fib el $n$th dígitos de la expansión decimal de $x_1$$1$. Desde $x_0$ $x_1$ tiene sólo $0$s y $1$s en sus expansiones, esto les obliga a ser igual.